AMC 10 · 2025 · #16

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

expected-valueprobability-basiccombinations-basic casework ↑ 선수 지식: expected-valueprobability-basic

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

동전 세 개를 항아리 세 개에 하나씩 넣는다. 각 동전은 세 항아리 중 하나를 무작위로 고르고, 세 항아리가 뽑힐 확률은 모두 같으며, 동전끼리는 서로 독립적으로 넣는다. 세 동전이 다 들어간 뒤, 동전이 가장 많이 든 항아리를 보고 그 개수를 적는다. 이 최대 개수의 장기적인 평균을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{4}{3}$

(B)

$\frac{13}{9}$

(C)

$\frac{5}{8}$

(D)

$\frac{17}{9}$

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

기댓값은 가중 평균이다. 이를 구하려면 M이 가질 수 있는 각 값의 확률이 필요하고, 그 확률을 얻으려면 경우의 수를 세어야 한다. 이것이 바로 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)이다 — 최대 개수 M은 항상 1, 2, 3 중 하나뿐이므로, 27가지 경우를 이 세 묶음으로 나누어 각각을 센다. 두 묶음(M=1 전부 다른 항아리, M=3 전부 같은 항아리)은 바로 세기 쉬우므로, 지저분한 M=2 묶음을 손으로 만드는 대신 도구 #16 (관점 바꾸기)을 쓴다: 쉬운 두 경우를 뺀 나머지가 곧 M=2 묶음이다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)은 풀이 전체를 '먼저 개수, 다음 확률, 마지막으로 가중합'으로 나누어 계산을 깔끔한 단계로 유지한다.

1STEP 1

표본공간의 크기

각 동전이 3개 항아리를 독립적으로 고르므로 27가지 배치가 모두 등확률이다 — 세기만 하면 확률이 나온다.

3³ = 27 가지의 똑같이 가능한 경우

2STEP 2

가능한 최댓값 정하기

동전은 어딘가 들어가야 하고 3개뿐이므로 최대 개수 M은 1, 2, 3뿐이다 — 셀 묶음이 셋이다.

M ∈ {1, 2, 3}

3STEP 3

M = 3 세기 (한 항아리에 전부)

최댓값이 3인 경우는 세 동전이 한 항아리에 모일 때뿐이라 고를 항아리가 3가지다.

#{M = 3} = 3

4STEP 4

M = 1 세기 (항아리마다 한 개씩)

최댓값이 1인 경우는 항아리마다 하나씩 받을 때뿐이고, 일대일 짝짓기이므로 3! = 6가지다.

#{M = 1} = 3! = 6

5STEP 5

여집합으로 M = 2 세기

세 경우가 27가지를 다 덮으므로 이미 센 둘을 빼면, 남는 18가지가 최댓값 2다.

#{M = 2} = 27 - 3 - 6 = 18

6STEP 6

개수를 확률로 바꾸기

경우가 모두 등확률이라 각 확률은 개수를 27로 나눈 값이고, 셋을 더하면 1이라 빠짐이 없다.

P(M=1)=6/27, P(M=2)=18/27, P(M=3)=3/27; 6/27+18/27+3/27=1

7STEP 7

각 값에 확률로 가중치 주기

기댓값은 가중 평균이다: 가능한 각 최댓값에 그 확률을 곱하는데, 분모는 모두 27이다.

E[M] = 1·6/27 + 2·18/27 + 3·3/27 = 6/27+36/27+9/27

8STEP 8

더하고 약분하기

분모가 같으니 분자를 더해 51 나누기 27을 얻고, 위아래를 3으로 나누면 $\frac{17}{9}$ , 곧 선택지 (D)이다.

E[M] = (6+36+9)/27 = 51/27 = 17/9 → (D)

정답

17/9

답 17/9 ≈ 1.89는 가능한 최댓값의 최소(1)와 최대(3) 사이에 있으므로 범위 안이다. 어떤 항아리든 항상 최댓값을 갖고 있으므로 적어도 1 이상이어야 하고, 2보다 살짝 아래에 놓인다 — 이는 완전히 흩어진 경우 M=1(확률 6/27)이 흔한 M=2보다 평균을 아래로 끌어내리기 때문에 자연스럽다. 선택지 (E) 2는 전부 다른 경우가 평균을 낮춘다는 사실을 잊은 사람을 위한 함정이다. 개수도 맞는다: 3 + 6 + 18 = 27로 모든 경우가 포함된다.

💡핵심 정리

평균 결과를 구하려면 모든 경우를 나열하고, 각 경우가 얼마나 잘 나오는지 세고, 각 값에 그 확률을 곱해 더하면 된다 — 동전 세 개 중 가장 큰 더미의 평균은 17/9로 2보다 조금 작다.

표본공간의 크기
가능한 최댓값 정하기
M = 3 세기 (한 항아리에 전부)
M = 1 세기 (항아리마다 한 개씩)
여집합으로 M = 2 세기
개수를 확률로 바꾸기
각 값에 확률로 가중치 주기
더하고 약분하기