AMC 10 · 2025 · #16
학년 7 probability항아리가 세 개 있다. 동전 세 개를 각각, 다른 동전의 배치와 독립적으로 무작위로 골라 세 항아리 중 하나에 넣는다. 가장 많은 동전이 든 항아리에 들어 있는 동전 수의 기댓값은 얼마인가?
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AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 동전 세 개를 항아리 세 개에 하나씩 넣는다. 각 동전은 세 항아리 중 하나를 무작위로 고르고, 세 항아리가 뽑힐 확률은 모두 같으며, 동전끼리는 서로 독립적으로 넣는다. 세 동전이 다 들어간 뒤, 동전이 가장 많이 든 항아리를 보고 그 개수를 적는다. 이 최대 개수의 장기적인 평균을 구하라.
주어진 것: 항아리는 $3$개, 동전은 $3$개이다; 각 동전은 서로 독립적으로 $3$개의 항아리 중 하나에 들어가며, 각 항아리에 들어갈 확률은 $\frac{1}{3}$이다; $M$ = 동전이 가장 많이 든 항아리에 담긴 동전의 개수; 선택지: (A) $\frac{4}{3}$, (B) $\frac{13}{9}$, (C) $\frac{5}{8}$, (D) $\frac{17}{9}$, (E) $2$
구하는 것: 기댓값 $\mathbb{E}[M]$ — 똑같이 가능한 모든 배치에 대해, 한 항아리에 담긴 최대 동전 개수의 평균
이해
문제 재정리: 동전 세 개를 항아리 세 개에 하나씩 넣는다. 각 동전은 세 항아리 중 하나를 무작위로 고르고, 세 항아리가 뽑힐 확률은 모두 같으며, 동전끼리는 서로 독립적으로 넣는다. 세 동전이 다 들어간 뒤, 동전이 가장 많이 든 항아리를 보고 그 개수를 적는다. 이 최대 개수의 장기적인 평균을 구하라.
주어진 것: 항아리는 $3$개, 동전은 $3$개이다; 각 동전은 서로 독립적으로 $3$개의 항아리 중 하나에 들어가며, 각 항아리에 들어갈 확률은 $\frac{1}{3}$이다; $M$ = 동전이 가장 많이 든 항아리에 담긴 동전의 개수; 선택지: (A) $\frac{4}{3}$, (B) $\frac{13}{9}$, (C) $\frac{5}{8}$, (D) $\frac{17}{9}$, (E) $2$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #16 관점 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기
기댓값은 가중 평균이다. 이를 구하려면 $M$이 가질 수 있는 각 값의 확률이 필요하고, 그 확률을 얻으려면 경우의 수를 세어야 한다. 이것이 바로 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)이다 — 최대 개수 $M$은 항상 $1$, $2$, $3$ 중 하나뿐이므로, $27$가지 경우를 이 세 묶음으로 나누어 각각을 센다. 두 묶음($M=1$ 전부 다른 항아리, $M=3$ 전부 같은 항아리)은 바로 세기 쉬우므로, 지저분한 $M=2$ 묶음을 손으로 만드는 대신 도구 #16 (관점 바꾸기)을 쓴다: 쉬운 두 경우를 뺀 나머지가 곧 $M=2$ 묶음이다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)은 풀이 전체를 '먼저 개수, 다음 확률, 마지막으로 가중합'으로 나누어 계산을 깔끔한 단계로 유지한다.
실행 — 정답: D
7.SP.C.8 단계 1 표본공간의 크기
- 각 동전은 $3$개의 항아리 중 하나를 독립적으로 고르므로, 세 동전을 모두 넣는 똑같이 가능한 방법의 수는 $3 \times 3 \times 3$이다.
- 이 경우들은 모두 확률이 같아서, 세기만 하면 확률을 구할 수 있다.
💡 독립적인 선택은 곱해진다: 세 동전이 각각 세 가지이므로 똑같이 가능한 배치는 $27$가지다.
7.SP.C.8 단계 2 가능한 최댓값 정하기
- 한 항아리의 최대 개수는 $0$이 될 수 없고(동전은 어딘가에 들어가야 한다) $3$을 넘을 수도 없다(동전이 $3$개뿐).
- 따라서 $M$은 $1$, $2$, $3$이다.
- $27$가지 경우 중 몇 개가 각 값에 속하는지 세고, 이 세 경우를 전체 목록으로 삼는다.
💡 동전이 셋뿐이면 가장 큰 더미는 적어도 하나, 많아야 셋이다.
7.SP.C.8 단계 3 M = 3 세기 (한 항아리에 전부)
- 최댓값이 $3$인 경우는 세 동전이 모두 같은 항아리에 들어갈 때뿐이다.
- 셋을 담을 그 한 항아리를 고르면 되는데, 고를 항아리가 $3$개이고 각 선택이 하나의 경우가 된다.
💡 세 동전이 함께 있다면 그들이 공유하는 한 항아리만 고르면 된다.
7.SP.C.8 단계 4 M = 1 세기 (항아리마다 한 개씩)
- 최댓값이 $1$인 경우는 모든 항아리가 정확히 동전 하나씩 받을 때뿐이다 — 겹치는 항아리가 없다.
- 이는 동전 $3$개를 항아리 $3$개에 일대일로 짝지은 것이므로 개수는 $3!$이다.
💡 완전히 흩어졌다는 건 동전을 항아리마다 하나씩 재배열한 것이니 $3! = 6$가지다.
7.SP.C.8 단계 5 여집합으로 M = 2 세기
- $M=2$ 배치를 직접 만들지 않고, 세 경우가 $27$가지 전체를 다 덮는다는 점을 이용한다.
- 이미 센 두 경우를 전체에서 빼면, 남는 것이 곧 최댓값이 정확히 $2$인 경우다.
💡 전부 같지도 전부 다르지도 않은 것은 모두 '한 쌍 + 하나' 모양일 수밖에 없으니 나머지를 세는 게 가장 빠르다.
7.SP.C.7 단계 6 개수를 확률로 바꾸기
- 각 경우가 똑같이 가능하므로, $M$의 각 값의 확률은 그 개수를 $27$로 나눈 값이다.
- 이것이 $M$의 확률 모형이며, 세 확률의 합이 $1$이 되어 경우들이 모든 경우를 빠짐없이 나눔을 확인해 준다.
💡 똑같이 가능한 경우에서 확률은 그저 유리한 개수를 $27$로 나눈 것이다.
5.NF.B.4 단계 7 각 값에 확률로 가중치 주기
- 기댓값은 각 값이 얼마나 잘 나오는지로 가중한 $M$의 평균이다: 가능한 각 최댓값에 그 확률을 곱한다.
- 모든 확률이 분모 $27$을 공유하므로, 자연수 값에 그 분수를 곱하면 분자만 커진다.
💡 자주 나오는 값은 더 많이 세어야 하니, 더하기 전에 각 값에 그 확률을 곱한다.
4.NF.B.3 단계 8 더하고 약분하기
- 세 분수를 더한다 — 이미 분모 $27$이 같으므로 분자끼리 더한다.
- 그런 다음 분자와 분모를 $3$으로 나누어 약분한다.
- 결과는 선택지 (D)와 일치한다.
💡 분모가 같으면 분자끼리 더한 뒤 기약분수로 줄이면 된다.
7.SP.C.8 각 동전은 $3$개의 항아리 중 하나를 독립적으로 고르므로, 세 동전을 모두 넣는 똑같이 가능한 방법의 수는 $3 \times 3 \times 7.SP.C.8 한 항아리의 최대 개수는 $0$이 될 수 없고(동전은 어딘가에 들어가야 한다) $3$을 넘을 수도 없다(동전이 $3$개뿐). 따라서 $M$은 $ 7.SP.C.8 최댓값이 $3$인 경우는 세 동전이 모두 같은 항아리에 들어갈 때뿐이다. 셋을 담을 그 한 항아리를 고르면 되는데, 고를 항아리가 $3$개이고 7.SP.C.8 최댓값이 $1$인 경우는 모든 항아리가 정확히 동전 하나씩 받을 때뿐이다 — 겹치는 항아리가 없다. 이는 동전 $3$개를 항아리 $3$개에 일대 7.SP.C.8 $M=2$ 배치를 직접 만들지 않고, 세 경우가 $27$가지 전체를 다 덮는다는 점을 이용한다. 이미 센 두 경우를 전체에서 빼면, 남는 것이 7.SP.C.7 각 경우가 똑같이 가능하므로, $M$의 각 값의 확률은 그 개수를 $27$로 나눈 값이다. 이것이 $M$의 확률 모형이며, 세 확률의 합이 $1 5.NF.B.4 기댓값은 각 값이 얼마나 잘 나오는지로 가중한 $M$의 평균이다: 가능한 각 최댓값에 그 확률을 곱한다. 모든 확률이 분모 $27$을 공유하므로 4.NF.B.3 세 분수를 더한다 — 이미 분모 $27$이 같으므로 분자끼리 더한다. 그런 다음 분자와 분모를 $3$으로 나누어 약분한다. 결과는 선택지 (D) 검토
합리성 확인: 답 $\frac{17}{9} \approx 1.89$는 가능한 최댓값의 최소($1$)와 최대($3$) 사이에 있으므로 범위 안이다. 어떤 항아리든 항상 최댓값을 갖고 있으므로 적어도 $1$ 이상이어야 하고, $2$보다 살짝 아래에 놓인다 — 이는 완전히 흩어진 경우 $M=1$(확률 $\frac{6}{27}$)이 흔한 $M=2$보다 평균을 아래로 끌어내리기 때문에 자연스럽다. 선택지 (E) $2$는 전부 다른 경우가 평균을 낮춘다는 사실을 잊은 사람을 위한 함정이다. 개수도 맞는다: $3 + 6 + 18 = 27$로 모든 경우가 포함된다.
대안 접근: 다시 도구 #16을 써서, 양의 정수 변수에 대한 꼬리합 공식을 이용한다: $\mathbb{E}[M] = P(M\ge 1) + P(M\ge 2) + P(M\ge 3)$. 여기서 $P(M\ge 1)=1$, $P(M\ge 2) = 1 - P(M{=}1) = 1 - \frac{6}{27} = \frac{21}{27}$, $P(M\ge 3) = P(M{=}3) = \frac{3}{27}$이다. 더하면 $1 + \frac{21}{27} + \frac{3}{27} = 1 + \frac{24}{27} = 1 + \frac{8}{9} = \frac{17}{9}$로 (D)와 일치한다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.8Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (똑같이 가능한 $3^3 = 27$가지 배치를 세고, 이를 세 경우 $M=1$($6$가지), $M=2$($18$가지), $M=3$($3$가지)로 분류하기.)7.SP.C.7Develop probability models and use them to find probabilities of events (경우의 수를 확률 모형 $P(M{=}1)=\frac{6}{27}$, $P(M{=}2)=\frac{18}{27}$, $P(M{=}3)=\frac{3}{27}$으로 바꾸고 합이 $1$임을 확인하기.)5.NF.B.4Apply and extend understanding of multiplication to multiply a fraction by a fraction (가능한 각 최댓값에 그 확률로 가중치를 주기 — 기댓값 합에서 자연수 값 $1$, $2$, $3$에 각자의 분수 확률을 곱하기.)4.NF.B.3Understand a fraction with numerator greater than one as sum of unit fractions (분모가 같은 분수 $\frac{6}{27}+\frac{36}{27}+\frac{9}{27}=\frac{51}{27}$을 더하고 $\frac{17}{9}$으로 약분하기.)
⭐ 평균 결과를 구하려면 모든 경우를 나열하고, 각 경우가 얼마나 잘 나오는지 세고, 각 값에 그 확률을 곱해 더하면 된다 — 동전 세 개 중 가장 큰 더미의 평균은 $\frac{17}{9}$로 $2$보다 조금 작다.
⭐ 평균 결과를 구하려면 모든 경우를 나열하고, 각 경우가 얼마나 잘 나오는지 세고, 각 값에 그 확률을 곱해 더하면 된다 — 동전 세 개 중 가장 큰 더미의 평균은 $\frac{17}{9}$로 $2$보다 조금 작다.
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