AMC 10 · 2025 · #2

학년 8 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery

percentageweighted-averagelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 상자에 땅콩 $50$ 퍼센트, 캐슈 $20$ 퍼센트, 아몬드 $30$ 퍼센트로 이루어진 견과 믹스가 $10$ 파운드 들어 있다. 두 번째 견과 믹스는 땅콩 $20$ 퍼센트, 캐슈 $40$ 퍼센트, 아몬드 $40$ 퍼센트로 이루어져 있다. 이들을 모두 한 상자에 합쳤더니 땅콩이 $40$ 퍼센트인 새로운 견과 믹스가 되었다. 이제 상자 안에 든 캐슈는 몇 파운드인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

3.5

(B)

(C)

4.5

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $50\%$ 땅콩, $20\%$ 캐슈넛, $30\%$ 아몬드로 이루어진 $10$파운드짜리 견과 믹스에, 양을 모르는 두 번째 믹스($20\%$ 땅콩, $40\%$ 캐슈넛, $40\%$ 아몬드)를 함께 섞는다. 합친 상자는 $40\%$ 땅콩이 되었다. 합친 상자 안 캐슈넛의 총 무게(파운드)를 구하라.

주어진 것: 상자 1: $10$파운드, $50\%$ 땅콩, $20\%$ 캐슈넛, $30\%$ 아몬드; 상자 2: 무게는 주어지지 않음, $20\%$ 땅콩, $40\%$ 캐슈넛, $40\%$ 아몬드; 모두 부어 섞은 뒤, 합친 믹스는 $40\%$ 땅콩; 선택지: (A) $3.5$, (B) $4$, (C) $4.5$, (D) $5$, (E) $6$

구하는 것: 합친 상자 안 캐슈넛의 총 무게(파운드); 더한 상자 2의 무게(파운드) — 과정에서 필요함

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #13 대수로 바꾸기

계산을 막는 유일한 것은 상자 2의 모르는 무게이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 그것을 $x$라 이름 붙이면 모든 땅콩과 캐슈넛의 양을 $x$로 나타낼 수 있다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 장부를 깔끔하게 유지한다: 퍼센트에 파운드 무게를 곱하면 그 견과의 파운드가 된다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 하나뿐인 숫자 단서 — 최종 믹스가 $40\%$ 땅콩 — 를 방정식으로 바꿔 $x$를 확정하고, 그 뒤 캐슈넛은 곧바로 세면 된다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

모르는 양에 이름 붙이기

주어지지 않은 유일한 양은 더하는 상자 2의 무게다.
이름을 붙이자: 상자 2의 무게를 $x$파운드라 하자.
그러면 합친 상자는 $10+x$파운드다.
나머지는 모두 알고 있으므로, $x$를 적는 순간 문제 전체가 풀린다.

$$x = \text{상자 2의 파운드},\qquad \text{합친 무게} = 10+x$$

💡 모르는 양 하나에 이름을 붙이면 나머지 모든 양을 그것으로 나타낼 수 있다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 2

각 상자의 땅콩 세기

무게의 퍼센트는 그 파운드의 그만큼이다.
상자 1은 $0.50\times10=5$파운드의 땅콩을 준다.
상자 2는 $0.20\times x=0.2x$파운드의 땅콩을 준다.
합치면 땅콩은 $5+0.2x$파운드다.

$$0.50\times10=5,\qquad 0.20\times x=0.2x,\qquad \text{땅콩}=5+0.2x$$

💡 어떤 양의 퍼센트를 구하는 것은 그 분수를 양에 곱하는 것이다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 3

40% 단서를 방정식으로 바꾸기

합친 믹스는 $40\%$ 땅콩이므로, 땅콩 파운드를 총 파운드로 나누면 $0.40$이다.
양변에 $10+x$를 곱하고 정리하면 $5+0.2x=0.4(10+x)=4+0.4x$가 되어 $1=0.2x$, 즉 $x=5$다.
상자 2를 $5$파운드 더한 것이다.

$$\dfrac{5+0.2x}{10+x}=0.40 \Rightarrow 5+0.2x=4+0.4x \Rightarrow 1=0.2x \Rightarrow x=5$$

💡 모르는 값이 들어간 퍼센트가 바로 그 값을 확정해 주는 유일한 방정식이다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 4

두 상자의 캐슈넛 더하기

이제 $x=5$이므로 땅콩을 셌던 것과 똑같이 캐슈넛을 센다.
상자 1은 $0.20\times10=2$파운드, 상자 2는 $0.40\times5=2$파운드의 캐슈넛을 준다.
더하면 합친 상자의 캐슈넛은 $2+2=4$파운드이고, 이는 선택지 (B)다.
(D)의 함정 값 $5$는 캐슈넛 총합이 아니라 상자 2의 무게 $x$다.

$$0.20\times10+0.40\times5=2+2=4 \Rightarrow \textbf{(B)}$$

💡 캐슈넛은 두 상자에서 오므로, 상자 2의 양을 안 뒤에야 합할 수 있다.

[1] #4 6.EE.B.6 주어지지 않은 유일한 양은 더하는 상자 2의 무게다. 이름을 붙이자: 상자 2의 무게를 $x$파운드라 하자. 그러면 합친 상자는 $10+x$파운

[2] #8 6.RP.A.3 무게의 퍼센트는 그 파운드의 그만큼이다. 상자 1은 $0.50\times10=5$파운드의 땅콩을 준다. 상자 2는 $0.20\times x=0.

[3] #13 8.EE.C.7 합친 믹스는 $40\%$ 땅콩이므로, 땅콩 파운드를 총 파운드로 나누면 $0.40$이다. 양변에 $10+x$를 곱하고 정리하면 $5+0.2x=0

[4] #8 6.RP.A.3 이제 $x=5$이므로 땅콩을 셌던 것과 똑같이 캐슈넛을 센다. 상자 1은 $0.20\times10=2$파운드, 상자 2는 $0.40\times5

검토

합리성 확인: 땅콩 조건을 확인하자: 합친 상자는 $10+5=15$파운드이고 땅콩은 $5+0.2\times5=6$파운드이며, $6/15=0.40$으로 요구된 $40\%$와 정확히 맞는다. 캐슈넛 $4$파운드는 믹스의 $4/15\approx27\%$로, 두 상자의 캐슈넛 비율 $20\%$와 $40\%$ 사이에 자연스럽게 들어온다. 솔깃한 오답 $5$(선택지 D)는 사실 상자 2의 무게이며, 이를 혼동하는 것이 의도된 함정이다.

대안 접근: 땅콩 퍼센트에 혼합법(alligation)을 쓰자. 상자 1은 $50\%$, 상자 2는 $20\%$이고 섞여서 $40\%$가 된다. $40$까지의 거리는 $50-40=10$과 $40-20=20$이므로 무게 비 상자 1 : 상자 2 $=20:10=2:1$이다. 상자 1이 $10$파운드이면 상자 2는 $5$파운드이고, 캐슈넛은 다시 $0.20\times10+0.40\times5=4$파운드다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (모르는 상자 2의 무게를 $x$로 두고 합친 무게를 $10+x$로 나타내는 데 사용.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (어떤 양의 퍼센트 구하기 — 각 상자 무게의 퍼센트로 땅콩과 캐슈넛의 파운드를 계산.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable ($\frac{5+0.2x}{10+x}=0.40$을 풀며 전개하고 동류항을 모아 $x=5$를 얻는 데 사용.)

⭐ 문제가 어떤 양을 숨기면, 이름을 붙이고, 하나뿐인 퍼센트 사실로 그것을 확정한 다음, 정작 묻는 것을 세어라.