AMC 10 · 2025 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometryquadratic-equationsslope-intercept convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometryquadratic-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

들판에 지름이 20미터인 사일로(직원기둥)가 서 있다. 맥도널드는 사일로 중심에서 서쪽으로 20미터, 남쪽으로 15미터 떨어진 곳에 있다. 맥그리거는 사일로 중심에서 동쪽으로 20미터, 남쪽으로 $g > 0$ 미터 떨어진 곳에 있다. 맥도널드와 맥그리거 사이의 시선은 사일로에 접한다. $g$ 의 값은 $\frac{a\sqrt{b}-c}{d}$ 로 나타낼 수 있고, 여기서 $a,b,c,$ $d$ 는 양의 정수이며, $b$ 는 어떤 소수의 제곱으로도 나누어떨어지지 않고, $d$ 는 $a$ 와 $c$ 의 최대공약수와 서로소이다. $a+b+c+d$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

119

(B)

120

(C)

121

(D)

122

(E)

123

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 지름 $20$ m(반지름 $10$ m)인 둥근 사일로가 들판에 서 있다. 사일로 중심 $O$를 기준으로 맥도널드는 서쪽으로 $20$ m, 남쪽으로 $15$ m 떨어진 곳에, 맥그리거는 동쪽으로 $20$ m, 남쪽으로 $g>0$ m 떨어진 곳에 서 있다. 두 사람을 잇는 시선(직선)이 사일로에 딱 접한다(접선이다). $g=\frac{a\sqrt{b}-c}{d}$ 꼴로 나타내고 $a+b+c+d$를 구하라.

주어진 것: 사일로는 중심이 $O$이고 반지름이 $10$ m인 원이다; 맥도널드는 $O$에서 서쪽으로 $20$ m, 남쪽으로 $15$ m 떨어져 있다; 맥그리거는 $O$에서 동쪽으로 $20$ m, 남쪽으로 $g>0$ m 떨어져 있다; 맥도널드와 맥그리거를 잇는 직선은 사일로에 접한다; $g=\frac{a\sqrt{b}-c}{d}$이고 $a,b,c,d$는 양의 정수, $b$는 제곱인수가 없으며, $d$는 $\gcd(a,c)$와 서로소이다; 선택지: (A) $119$, (B) $120$, (C) $121$, (D) $122$, (E) $123$

구하는 것: $g$의 값, 그리고 그로부터 얻는 합 $a+b+c+d$

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기, #1 그림 그리기

'서쪽', '남쪽', '중심', '접선' 같은 말은 모두 위치와 원에 관한 이야기이고, 이는 좌표평면이 다루기에 딱 맞는 상황이다. 도구 #13(대수로 바꾸기)로 들판을 $xy$-평면으로 옮기면 사일로는 원의 방정식이 되고 시선은 직선이 된다. 아직 모르는 것은 시선의 방향뿐이므로 도구 #4(변수 도입하기)로 그 기울기를 $m$이라 두고, 접선 조건이 $m$을 정하도록 한다. 접선 조건은 깔끔한 대수 형태를 가진다: 중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같다. 이 거리 방정식을 제곱해 정리하면 $m$에 대한 이차방정식이 되어 두 근이 나오는데, 도구 #3(가능성 지우기)으로 $g>0$ 조건을 써서 잘못된 근을 버린다. 도구 #1(그림 그리기)은 동서남북을 헷갈리지 않게 하여 남북 부호를 바르게 잡아 준다.

실행 — 정답: A

#13 대수로 바꾸기 8.G.B.8 단계 1

들판을 좌표에 올리기

맥도널드를 원점에 놓고 동쪽을 $+x$, 북쪽을 $+y$라 하자.
맥도널드는 중심에서 서쪽 $20$, 남쪽 $15$이므로 중심은 맥도널드에서 동쪽 $20$, 북쪽 $15$에 있어 $O=(20,15)$이다.
맥그리거는 $O$에서 동쪽 $20$, 남쪽 $g$이므로 맥그리거 $=(40,\,15-g)$이다.
사일로는 $O$를 중심으로 하는 반지름 $10$인 원이다.

$$O=(20,15),\quad \text{사일로}: (x-20)^2+(y-15)^2=100,\quad \text{맥그리거}=(40,15-g)$$

💡 $+x$와 $+y$ 방향만 정하면 방위 설명이 정확한 좌표로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 8.EE.B.6 단계 2

시선의 기울기에 이름 붙이기

시선은 원점에 있는 맥도널드를 지나므로 어떤 기울기 $m$에 대해 $y=mx$ 꼴이다.
이 직선은 맥그리거 $(40,15-g)$에도 닿아야 하므로 기울기는 세로 변화량 나누기 가로 변화량으로 $g$와 연결된다.
지금은 $m$을 미지수로 남겨 두고, 접선 조건으로 나중에 정한다.

$$y=mx,\qquad m=\frac{15-g}{40}$$

💡 원점을 지나는 직선은 기울기라는 한 개의 수로 완전히 결정된다.

#13 대수로 바꾸기 8.G.B.8 단계 3

접선 조건을 거리 방정식으로 바꾸기

직선이 원에 접할 조건은 중심에서 직선까지의 수직 거리가 반지름과 같은 것이다.
직선 $y=mx$를 $mx-y=0$으로 쓰면, $O=(20,15)$에서 이 직선까지의 거리는 $\frac{|20m-15|}{\sqrt{m^2+1}}$이고, 접선 조건은 이 값이 반지름 $10$과 같도록 만든다.

$$\frac{|20m-15|}{\sqrt{m^2+1}}=10$$

💡 접한다는 것은 '살짝 닿는다'는 뜻이라, 중심이 직선에서 정확히 반지름만큼 떨어져 있다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

제곱해서 이차방정식으로 정리하기

양변을 제곱하면 근호와 절댓값이 사라진다.
전개해서 한쪽으로 모으면 $m^2$ 항이 일부 상쇄되고, 공통인수로 나누면 $m$에 대한 깔끔한 이차방정식이 남는다.

$$(20m-15)^2=100(m^2+1)\;\Rightarrow\;400m^2-600m+225=100m^2+100\;\Rightarrow\;300m^2-600m+125=0\;\Rightarrow\;12m^2-24m+5=0$$

💡 제곱하면 다루기 까다로운 근호·절댓값 방정식이 평범한 다항식으로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 5

기울기 구하기

$12m^2-24m+5=0$에 근의 공식을 적용한다.
근호 안의 수는 $24^2-4\cdot12\cdot5=576-240=336=16\cdot21$이므로 $\sqrt{336}=4\sqrt{21}$이고, $4$가 $24$, $24$와의 공통인수를 약분한다.

$$m=\frac{24\pm\sqrt{336}}{24}=\frac{24\pm4\sqrt{21}}{24}=\frac{6\pm\sqrt{21}}{6}$$

💡 맥도널드를 지나 사일로에 접하는 직선이 둘이라서 기울기 후보도 둘이 나온다.

#3 가능성 지우기 8.NS.A.2 단계 6

g가 양수가 되는 근 고르기

2단계에서 $g=15-40m$이다.
$\sqrt{21}\approx4.58$이므로 두 기울기는 대략 $m\approx1.76$과 $m\approx0.236$이다.
큰 기울기는 $g\approx15-40(1.76)<0$이 되어 $g>0$ 규칙을 어기므로 버린다.
작은 기울기 $m=\frac{6-\sqrt{21}}{6}$은 양수 $g$를 주므로 이것이 우리가 원하는 값이다.

$$m=\frac{6+\sqrt{21}}{6}\Rightarrow g<0\;(\text{버림}),\qquad m=\frac{6-\sqrt{21}}{6}\Rightarrow g>0\;(\text{택함})$$

💡 $\sqrt{21}$을 소수로 어림하면 어느 직선이 엉뚱한 쪽을 향하는지 바로 보인다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 7

g를 복원하고 값들을 더하기

택한 기울기를 $g=15-40m$에 대입한다.
그러면 $40m=\frac{40(6-\sqrt{21})}{6}=\frac{120-20\sqrt{21}}{3}$이고, 이를 $15=\frac{45}{3}$에서 빼면 $g=\frac{20\sqrt{21}-75}{3}$이다.
$\frac{a\sqrt{b}-c}{d}$와 맞추면 $a=20$, $b=21$, $c=75$, $d=3$이다.
확인: $b=21=3\cdot7$은 제곱인수가 없고, $\gcd(20,75)=5$이며, $\gcd(d,5)=\gcd(3,5)=1$이므로 조건을 만족한다.
합은 $20+21+75+3=119$, 선택지 $\textbf{(A)}$이다.

$$g=15-\frac{120-20\sqrt{21}}{3}=\frac{45-120+20\sqrt{21}}{3}=\frac{20\sqrt{21}-75}{3}\;\Rightarrow\;a+b+c+d=119\;\textbf{(A)}$$

💡 기울기가 정해지면 $g$는 대입해서 정리하기만 하면 된다.

[1] #13 8.G.B.8 맥도널드를 원점에 놓고 동쪽을 $+x$, 북쪽을 $+y$라 하자. 맥도널드는 중심에서 서쪽 $20$, 남쪽 $15$이므로 중심은 맥도널드에서 동

[2] #4 8.EE.B.6 시선은 원점에 있는 맥도널드를 지나므로 어떤 기울기 $m$에 대해 $y=mx$ 꼴이다. 이 직선은 맥그리거 $(40,15-g)$에도 닿아야 하므

[3] #13 8.G.B.8 직선이 원에 접할 조건은 중심에서 직선까지의 수직 거리가 반지름과 같은 것이다. 직선 $y=mx$를 $mx-y=0$으로 쓰면, $O=(20,15

[4] #13 8.EE.C.7 양변을 제곱하면 근호와 절댓값이 사라진다. 전개해서 한쪽으로 모으면 $m^2$ 항이 일부 상쇄되고, 공통인수로 나누면 $m$에 대한 깔끔한 이차

[5] #4 8.EE.A.2 $12m^2-24m+5=0$에 근의 공식을 적용한다. 근호 안의 수는 $24^2-4\cdot12\cdot5=576-240=336=16\cdot2

[6] #3 8.NS.A.2 2단계에서 $g=15-40m$이다. $\sqrt{21}\approx4.58$이므로 두 기울기는 대략 $m\approx1.76$과 $m\appro

[7] #4 8.EE.C.7 택한 기울기를 $g=15-40m$에 대입한다. 그러면 $40m=\frac{40(6-\sqrt{21})}{6}=\frac{120-20\sqrt{2

검토

합리성 확인: 수치로 $g=\frac{20\sqrt{21}-75}{3}\approx\frac{20(4.583)-75}{3}=\frac{91.65-75}{3}\approx5.55>0$이므로 $g>0$을 지킨다. 기울기 역검산: $m=\frac{15-5.55}{40}=\frac{9.45}{40}\approx0.236=\frac{6-\sqrt{21}}{6}$로 6단계와 일치한다. $O=(20,15)$에서 직선 $y\approx0.236x$까지의 거리는 $\frac{|20(0.236)-15|}{\sqrt{0.236^2+1}}=\frac{10.28}{1.028}\approx10$으로 반지름과 같아 접선임이 확인된다. 표현 형태 조건($b$ 제곱인수 없음, $d$가 $\gcd(a,c)$와 서로소)도 모두 성립하며, 합 $119$는 선택지 (A)이다.

대안 접근: 거리 공식 대신 $y=mx$를 원의 방정식에 바로 대입하면 $(m^2+1)x^2-(30m+40)x+525=0$이 되고, 접선은 원과 한 점에서 만나므로 판별식을 $0$으로 놓는다. 이 판별식 조건도 똑같이 $12m^2-24m+5=0$으로 정리되어 이후 과정과 답 $119$는 동일하다. 이 방법은 외운 점-직선 거리 공식을 '중근' 아이디어로 대체하므로, 거리 공식이 기억나지 않을 때 유용하다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.8 Apply the Pythagorean theorem to find distance between two points in a coordinate system (들판을 좌표평면에 놓고 사일로 중심에서 시선까지의 점-직선 거리를 세우는 데 사용.)
8.EE.B.6 Use similar triangles to explain why the slope is the same between any two points (원점을 지나는 시선을 $y=mx$로 나타내고 기울기 $m$을 세로/가로 변화량으로 $g$와 연결하는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (거리 방정식을 $12m^2-24m+5=0$으로 정리하고, 이후 $g=15-40m$을 $g$에 대해 푸는 데 사용.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions (근의 공식에서 $\sqrt{336}=4\sqrt{21}$로 간단히 하여 기울기 $m=\frac{6\pm\sqrt{21}}{6}$을 표현하는 데 사용.)
8.NS.A.2 Use rational approximations of irrational numbers to compare their size ($\sqrt{21}\approx4.58$로 어림하여 $g>0$을 주는 기울기를 고르고 최종값을 점검하는 데 사용.)

⭐ 그림을 좌표에 올려라. 원에 딱 접하는 직선은 중심에서 정확히 반지름만큼 떨어져 있고, 이 한 가지 사실이 '접선'을 풀 수 있는 방정식으로 바꿔 준다.