AMC 10 · 2025 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometryquadratic-equationsslope-intercept convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometryquadratic-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

지름 20 m(반지름 10 m)인 둥근 사일로가 들판에 서 있다. 사일로 중심 O를 기준으로 맥도널드는 서쪽으로 20 m, 남쪽으로 15 m 떨어진 곳에, 맥그리거는 동쪽으로 20 m, 남쪽으로 g ＞ 0 m 떨어진 곳에 서 있다. 두 사람을 잇는 시선(직선)이 사일로에 딱 접한다(접선이다). g=(a√(b)-c)/d 꼴로 나타내고 a+b+c+d를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

119

(B)

120

(C)

121

(D)

122

(E)

123

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

'서쪽', '남쪽', '중심', '접선' 같은 말은 모두 위치와 원에 관한 이야기이고, 이는 좌표평면이 다루기에 딱 맞는 상황이다. 도구 #13(대수로 바꾸기)로 들판을 xy-평면으로 옮기면 사일로는 원의 방정식이 되고 시선은 직선이 된다. 아직 모르는 것은 시선의 방향뿐이므로 도구 #4(변수 도입하기)로 그 기울기를 m이라 두고, 접선 조건이 m을 정하도록 한다. 접선 조건은 깔끔한 대수 형태를 가진다: 중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같다. 이 거리 방정식을 제곱해 정리하면 m에 대한 이차방정식이 되어 두 근이 나오는데, 도구 #3(가능성 지우기)으로 g ＞ 0 조건을 써서 잘못된 근을 버린다. 도구 #1(그림 그리기)은 동서남북을 헷갈리지 않게 하여 남북 부호를 바르게 잡아 준다.

1STEP 1

들판을 좌표에 올리기

맥도널드를 원점, 동쪽을 +x로 두면 O=(20,15)이고 맥그리거는 (40,15-g)이다.

O=(20,15), 사일로: (x-20)²+(y-15)²=100, 맥그리거=(40,15-g)

2STEP 2

시선의 기울기에 이름 붙이기

시선은 원점을 지나므로 y=mx 꼴이고 m=(15-g)/40이다. m은 일단 미지수로 둔다.

y=mx, m=(15-g)/40

3STEP 3

접선 조건을 거리 방정식으로 바꾸기

접선 조건은 O에서 직선 mx-y=0까지의 거리가 반지름이라는 뜻: (|20m-15|)/(√(m²+1))=10.

(|20m-15|)/(√(m²+1))=10

4STEP 4

제곱해서 이차방정식으로 정리하기

제곱하면 근호와 절댓값이 사라지고 m² 항이 일부 상쇄되어 12m²-24m+5=0만 남는다.

(20m-15)²=100(m²+1) → 400m²-600m+225=100m²+100 → 300m²-600m+125=0 → 12m²-24m+5=0

5STEP 5

기울기 구하기

판별식이 576-240=336=16·21이므로 √(336)=4√(21), 곧 m=(6±√(21))/6이다.

m=24±√(336)/24=24±4√(21)/24=6±√(21)/6

6STEP 6

g가 양수가 되는 근 고르기

g=15-40m이므로 1.76쯤 되는 기울기는 g를 음수로 만든다. m=(6-√(21))/6≈0.236만 살아남는다.

m=(6+√(21))/6→ g ＜ 0 (버림), m=(6-√(21))/6→ g ＞ 0 (택함)

7STEP 7

g를 복원하고 값들을 더하기

대입하면 g=(20√(21)-75)/3이므로 a=20, b=21, c=75, d=3, 합은 119이다.

g=15-(120-20√(21))/3=(45-120+20√(21))/3=(20√(21)-75)/3 → a+b+c+d=119 (A)

정답

119

수치로 g=(20√(21)-75)/3≈(20(4.583)-75)/3=(91.65-75)/3≈5.55 ＞ 0이므로 g ＞ 0을 지킨다. 기울기 역검산: m=(15-5.55)/40=9.45/40≈0.236=(6-√(21))/6로 6단계와 일치한다. O=(20,15)에서 직선 y≈0.236x까지의 거리는 (|20(0.236)-15|)/(√(0.236²+1))=10.28/1.028≈10으로 반지름과 같아 접선임이 확인된다. 표현 형태 조건(b 제곱인수 없음, d가 gcd(a,c)와 서로소)도 모두 성립하며, 합 119는 선택지 (A)이다.

💡핵심 정리

그림을 좌표에 올려라. 원에 딱 접하는 직선은 중심에서 정확히 반지름만큼 떨어져 있고, 이 한 가지 사실이 '접선'을 풀 수 있는 방정식으로 바꿔 준다.

들판을 좌표에 올리기
시선의 기울기에 이름 붙이기
접선 조건을 거리 방정식으로 바꾸기
제곱해서 이차방정식으로 정리하기
기울기 구하기
g가 양수가 되는 근 고르기
g를 복원하고 값들을 더하기