AMC 10 · 2025 · #22

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

tangent-circlesdescartes-circle-theoremcoordinate-geometry convert-to-algebra ↑ 선수 지식: tangent-circles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 그림처럼, 반지름이 $r$ 인 원을 반지름이 각각 1, 2, 3인 세 원이 둘러싸고 있으며, 이 세 원은 모두 안쪽 원에 외접하고 서로도 외접한다.

$r$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{6}{23}$

(C)

$\frac{3}{11}$

(D)

$\frac{5}{17}$

(E)

$\frac{3}{10}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 작은 원(반지름 r)이 가운데에 놓여 반지름 1, 2, 3인 세 개의 큰 원에 닿아 있다. 네 원은 모두 서로 바깥쪽에서 맞닿고, 세 큰 원도 서로 맞닿는다. 그림에서 이 작은 원은 세 큰 원 사이의 틈에 꼭 끼어 있는 원이다. r을 구하여라.

주어진 것: 세 원의 반지름은 1, 2, 3이고, 두 개씩 서로 바깥쪽에서 맞닿는다.; 반지름 r인 네 번째 원이 세 원 모두와 바깥쪽에서 맞닿는다.; 그림은 이 네 번째 원을 바깥을 감싸는 큰 원이 아니라 가운데 틈에 끼인 작은 원으로 보여 준다.

구하는 것: 안쪽 작은 원의 반지름 r.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기, #1 그림 그리기

반지름을 직접 다루면 지저분하다. 맞닿음이 중심들을 합의 제곱근으로 얽어매기 때문이다. 깔끔한 수는 각 원마다 새 변수, 곧 곡률 k = 1/r을 이름 붙이는 것이다. 서로 모두 닿는 네 원의 곡률은 데카르트 원 정리라는 하나의 깔끔한 식을 따른다. 그래서 모든 원에 k를 도입하고, 정리를 두 개의 쉬운 조각(단순한 합, 그리고 제곱근 안의 곱의 합)으로 쪼개 각각 계산한 뒤, 가능한 두 원을 읽어 낸다. 그러면 그림이 틀린 것을 지워 주고, 곡률을 다시 뒤집으면 r이 나온다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.NS.A.1 단계 1

반지름에서 곡률로 바꾸기

서로 모두 닿는 원들에서는 반지름이 어색하게 얽히지만 그 역수는 깔끔하게 결합한다.
각 원에 새 변수, 곧 곡률 k = 1/r을 준다.
그러면 알려진 세 원의 곡률은 k1 = 1/1 = 1, k2 = 1/2, k3 = 1/3이고, 안쪽 원의 곡률은 k4 = 1/r이다.
하나는 다른 하나의 역수일 뿐이므로 k4를 찾는 것은 곧 r을 찾는 것이다.

$$k_1=\frac{1}{1}=1,\quad k_2=\frac{1}{2},\quad k_3=\frac{1}{3},\quad k_4=\frac{1}{r}$$

💡 곡률은 큰 원을 작은 수로, 작은 원을 큰 수로 바꾸며, 그 언어에서 맞닿음이 단순해진다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.5 단계 2

데카르트 원 정리 쓰기

네 원이 모두 서로 맞닿을 때 네 곡률은 데카르트 원 정리로 서로 묶인다.
네 번째 곡률은 나머지 세 곡률의 합에, (그 곡률들의 세 쌍별 곱의 합)의 제곱근의 두 배를 더하거나 빼는 것과 같다.
이 플러스마이너스는 주어진 세 원에 모두 닿는 원이 정확히 둘 있다는 것을 알려 주며, 부호는 나중에 정한다.

$$k_4=k_1+k_2+k_3\pm 2\sqrt{k_1k_2+k_2k_3+k_3k_1}$$

💡 식 하나가 맞닿음 전체를 담으므로, 어려운 기하가 네 수에 대한 산수로 무너진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 3

세 곡률 더하기

먼저 쉬운 부분, 알려진 곡률들의 단순한 합을 다룬다.
1, 1/2, 1/3을 공통분모 6으로 놓으면 6/6 + 3/6 + 2/6 = 11/6이다.
이것이 제곱근 앞에 오는 부분이다.

$$k_1+k_2+k_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{6}{6}+\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{11}{6}$$

💡 공통분모를 쓰면 분모가 다른 세 분수가 하나의 깔끔한 합으로 합쳐진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.4 단계 4

세 쌍별 곱 더하기

이제 제곱근 안의 부분, 두 개씩 짝지은 곱의 합이다.
곡률을 두 개씩 곱하면 k1*k2 = 1 * 1/2 = 1/2, k2*k3 = 1/2 * 1/3 = 1/6, k3*k1 = 1/3 * 1 = 1/3이다.
분모 6으로 더하면 3/6 + 1/6 + 2/6 = 6/6 = 1이다.
세 분수가 정확히 1로 더해지는데, 이것이 이 문제를 깔끔하게 만드는 지점이다.

$$k_1k_2+k_2k_3+k_3k_1=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=1$$

💡 쌍별 곱은 원들을 이어 주는 접착제인데, 여기서는 딱 1로 더해진다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 5

두 조각 합치기

두 조각을 정리에 넣는다.
1의 제곱근은 1이므로 보정항은 2 * 1 = 2이다.
그러면 k4 = 11/6에 2를 더하거나 뺀 값이다.
두 부호를 분수로 풀면 11/6 + 12/6 = 23/6, 또는 11/6 - 12/6 = -1/6이다.
따라서 세 원 모두에 닿는 두 원의 곡률은 23/6과 -1/6이다.

k_4=\frac{11}{6}\pm 2\sqrt{1}=\frac{11}{6}\pm 2=\frac{23}{6}\ \text{또는}\ -\frac{1}{6}

💡 제곱근 안이 완전제곱이라 보정항이 깔끔한 정수가 되고, 두 원이 한꺼번에 튀어나온다.

#3 가능성 지우기 6.NS.A.1 단계 6

작은 원을 골라 다시 뒤집기

곡률 둘, 원 둘이다.
곡률이 클수록 더 작고 더 급하게 휜 원이므로, k4 = 23/6은 틈에 낀 작은 원이고 k4 = -1/6은 바깥을 감싸는 큰 원이다(음의 곡률은 다른 원들을 바깥에서 감싸는 원, 곧 반지름 6을 뜻한다).
그림은 끼인 작은 원을 보여 주므로 k4 = 23/6을 택한다.
반지름으로 다시 뒤집으면 r = 1/k4 = 6/23이다.
이것이 보기 (B)이다.

$$r=\frac{1}{k_4}=\frac{1}{23/6}=\frac{6}{23}$$

💡 두 부호는 들어맞는 두 원이고, 어느 쪽을 묻는지는 그림이 알려 준다.

[1] #4 6.NS.A.1 서로 모두 닿는 원들에서는 반지름이 어색하게 얽히지만 그 역수는 깔끔하게 결합한다. 각 원에 새 변수, 곧 곡률 k = 1/r을 준다. 그러면

[2] #4 6.EE.B.5 네 원이 모두 서로 맞닿을 때 네 곡률은 데카르트 원 정리로 서로 묶인다. 네 번째 곡률은 나머지 세 곡률의 합에, (그 곡률들의 세 쌍별 곱의

[3] #7 5.NF.A.1 먼저 쉬운 부분, 알려진 곡률들의 단순한 합을 다룬다. 1, 1/2, 1/3을 공통분모 6으로 놓으면 6/6 + 3/6 + 2/6 = 11/6이

[4] #7 5.NF.B.4 이제 제곱근 안의 부분, 두 개씩 짝지은 곱의 합이다. 곡률을 두 개씩 곱하면 k1*k2 = 1 * 1/2 = 1/2, k2*k3 = 1/2 *

[5] #4 8.EE.A.2 두 조각을 정리에 넣는다. 1의 제곱근은 1이므로 보정항은 2 * 1 = 2이다. 그러면 k4 = 11/6에 2를 더하거나 뺀 값이다. 두 부호

[6] #3 6.NS.A.1 곡률 둘, 원 둘이다. 곡률이 클수록 더 작고 더 급하게 휜 원이므로, k4 = 23/6은 틈에 낀 작은 원이고 k4 = -1/6은 바깥을 감싸

검토

합리성 확인: r = 6/23은 약 0.26으로, 세 주어진 반지름보다 작은 작은 양수 길이이고 가운데 틈에 그려진 작은 원의 크기와 정확히 맞으므로 눈으로 봐도 통과한다. 버린 부호는 곡률 -1/6, 곧 반지름 6, 다른 세 원을 감싸는 큰 원을 주는데 그림이 이를 배제한다. 보기 1/4 = 0.25, 6/23 약 0.261, 3/11 약 0.273이 모두 가까우므로 정확한 분수가 중요한데, 6/23으로의 완벽한 약분이 이웃 값이 아니라 보기 (B)임을 확인해 준다.

대안 접근: 정리를 아예 쓰지 않고 좌표로 풀 수도 있다. 세 큰 중심은 서로 3, 4, 5 떨어져 있고 3^2 + 4^2 = 5^2이므로 직각삼각형을 이룬다. 직각 꼭짓점의 중심을 (0,0), 다른 하나를 (3,0), 나머지를 (0,4)에 두고 안쪽 중심을 (x,y)로 하여 세 중심까지의 거리를 r+1, r+2, r+3으로 놓는다. 거리 식을 두 개씩 빼면 x = (3-r)/3, y = (2-r)/2가 나오고, 이를 x^2 + y^2 = (r+1)^2에 대입하면 23r^2 + 132r - 36 = 0이 되며 그 유일한 양의 근이 6/23이다. 정리 없이도 같은 답이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.A.1 분수 나눗셈의 몫을 해석하고 계산하기 (각 곡률을 역수 k = 1/r로 정의하고, 마지막에 k4 = 23/6을 반지름 r = 6/23으로 다시 뒤집는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식이나 부등식을 푸는 것을 참이 되게 하는 값을 찾는 과정으로 이해하기 (데카르트 원 정리를 미지의 곡률 k4에 대한 하나의 방정식으로 읽고, 플러스마이너스를 그 두 해로 다루는 데 사용.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 (1 + 1/2 + 1/3을 공통분모 6으로 더해 합 11/6을 얻는 데 사용.)
5.NF.B.4 곱셈의 이해를 확장하여 분수와 분수 곱하기 (곡률들의 세 쌍별 곱을 만들어 제곱근 안에서 깔끔한 합 1로 더하는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근과 세제곱근 기호로 해를 나타내기 (정리 속 완전제곱 1의 제곱근을 구해 정수 보정항 2를 얻는 데 사용.)

⭐ 원들이 모두 맞닿을 때는 반지름을 저글링하지 말고 곡률(1/r)로 바꿔라. 그러면 데카르트 원 정리가 전체 그림을 짧은 분수 덧셈 하나로 바꿔 준다.