AMC 10 · 2025 · #22

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

tangent-circlesdescartes-circle-theoremcoordinate-geometry convert-to-algebra ↑ 선수 지식: tangent-circles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

작은 원(반지름 r)이 가운데에 놓여 반지름 1, 2, 3인 세 개의 큰 원에 닿아 있다. 네 원은 모두 서로 바깥쪽에서 맞닿고, 세 큰 원도 서로 맞닿는다. 그림에서 이 작은 원은 세 큰 원 사이의 틈에 꼭 끼어 있는 원이다. r을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{6}{23}$

(C)

$\frac{3}{11}$

(D)

$\frac{5}{17}$

(E)

$\frac{3}{10}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

반지름을 직접 다루면 지저분하다. 맞닿음이 중심들을 합의 제곱근으로 얽어매기 때문이다. 깔끔한 수는 각 원마다 새 변수, 곧 곡률 k = 1/r을 이름 붙이는 것이다. 서로 모두 닿는 네 원의 곡률은 데카르트 원 정리라는 하나의 깔끔한 식을 따른다. 그래서 모든 원에 k를 도입하고, 정리를 두 개의 쉬운 조각(단순한 합, 그리고 제곱근 안의 곱의 합)으로 쪼개 각각 계산한 뒤, 가능한 두 원을 읽어 낸다. 그러면 그림이 틀린 것을 지워 주고, 곡률을 다시 뒤집으면 r이 나온다.

1STEP 1

반지름에서 곡률로 바꾸기

반지름 대신 곡률 k = 1/r로 바꾸면 아는 세 원은 1, 1/2, 1/3, 모르는 원은 1/r이다.

k₁=1/1=1, k₂=1/2, k₃=1/3, k₄=1/r

2STEP 2

데카르트 원 정리 쓰기

데카르트 원 정리: k4는 나머지 세 곡률의 합에, 쌍별 곱 합의 제곱근의 두 배를 더하거나 뺀 값이다.

k₄=k₁+k₂+k₃± 2√(k₁k₂+k₂k₃+k₃k₁)

3STEP 3

세 곡률 더하기

쉬운 조각부터. 분모 6으로 통분하면 1 + 1/2 + 1/3 = 6/6 + 3/6 + 2/6 = 11/6.

k₁+k₂+k₃=1+1/2+1/3=6/6+3/6+2/6=11/6

4STEP 4

세 쌍별 곱 더하기

근호 안 쌍별 곱의 합은 1/2 + 1/6 + 1/3 = 정확히 1, 완전제곱이라 깔끔하다.

k₁k₂+k₂k₃+k₃k₁=1/2+1/6+1/3=3/6+1/6+2/6=1

5STEP 5

두 조각 합치기

1의 제곱근은 1이라 보정항은 2. k4 = 11/6 ± 2는 23/6 또는 -1/6로 갈린다.

k₄=11/6± 2√(1)=11/6± 2=23/6 또는 -1/6

6STEP 6

작은 원을 골라 다시 뒤집기

곡률이 클수록 원은 작다. 끼인 원은 23/6, -1/6은 감싸는 원. 뒤집으면 r = 6/23.

r=1/k₄=1/23/6=6/23

정답

6/23

r = 6/23은 약 0.26으로, 세 주어진 반지름보다 작은 작은 양수 길이이고 가운데 틈에 그려진 작은 원의 크기와 정확히 맞으므로 눈으로 봐도 통과한다. 버린 부호는 곡률 -1/6, 곧 반지름 6, 다른 세 원을 감싸는 큰 원을 주는데 그림이 이를 배제한다. 보기 1/4 = 0.25, 6/23 약 0.261, 3/11 약 0.273이 모두 가까우므로 정확한 분수가 중요한데, 6/23으로의 완벽한 약분이 이웃 값이 아니라 보기 (B)임을 확인해 준다.

💡핵심 정리

원들이 모두 맞닿을 때는 반지름을 저글링하지 말고 곡률(1/r)로 바꿔라. 그러면 데카르트 원 정리가 전체 그림을 짧은 분수 덧셈 하나로 바꿔 준다.

반지름에서 곡률로 바꾸기
데카르트 원 정리 쓰기
세 곡률 더하기
세 쌍별 곱 더하기
두 조각 합치기
작은 원을 골라 다시 뒤집기