AMC 10 · 2025 · #3
학년 7 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이등변삼각형은 같은 두 변 A, A와 나머지 한 변 B로 이루어진다. 2025는 가장 긴 변인데, 그 역할은 둘 중 하나다. 같은 두 변 중 하나이거나, 아니면 하나뿐인 나머지 변이다. 이 두 역할은 동시에 일어날 수 없으므로, 세는 문제를 이 두 작은 문제로 쪼개어 각각 깔끔히 센 뒤 더한다. 각 경우에서 변에 이름을 붙이고 삼각형 부등식의 경계까지 밀어붙이면, 세는 일이 연속한 정수의 개수를 세는 일로 바뀐다.
변에 이름 붙이기
변을 A, A, B(양의 정수)로 두면, 이 중 하나가 2025이고 어떤 변도 그보다 크지 않다.
모든 이등변삼각형은 같은 두 변에 나머지 한 변을 더한 것이므로, 문자 두 개면 전부 담을 수 있다.
7.G.A.2Introduce A Variable2025의 역할로 나누기
2025는 같은 두 변 중 하나이거나 나머지 한 변이다. 겹치지 않는 두 경우로 세어 더한다.
가장 큰 변은 A, A, B라는 틀 어딘가에 있어야 하는데, 앉을 자리는 두 곳뿐이다.
7.G.A.2Identify Subproblems경우 1: 같은 두 변이 2025
2025, 2025, B에서 B는 1부터 2025까지 모두 되므로 2025개다. B = 2025는 정삼각형이다.
긴 두 변이 같으면, 2025 이하의 어떤 밑변이라도 실제 삼각형으로 닫힌다.
6.EE.B.8Extreme Principle경우 2: 밑변이 2025
A, A, 2025에서 A + A가 2025보다 커야 하므로 A는 1013~2024, 곧 1012개다.
같은 두 다리가 함께 밑변을 넘어 뻗어야 하므로, 각 다리는 2025의 절반보다 커야 한다.
같은 두 변이 합쳐 밑변보다 길어야 하므로, 각 변은 밑변의 절반보다 커야 한다.
▸ 왜?
두 변이 합쳐 셋째 변보다 길어야 하며, 그렇지 않으면 끝이 만나지 못한다.
▸ 왜?
그 비교가 변의 길이에 단단한 바닥을 놓으므로, 그보다 큰 값만 살아남는다.
두 경우를 더하기
두 경우는 겹치지 않으므로 더하면 2025 + 1012 = 3037, 답은 (D)이다.
겹치지 않는 두 무더기의 삼각형은 그냥 더하면 된다.
4.OA.A.3Make A Systematic List가장 긴 변이 A, A, B라는 틀에서 어디에 앉을 수 있는지 묻고, 각 자리를 삼각형 부등식으로 센 뒤 더한다.
- 변에 이름 붙이기
- 2025의 역할로 나누기
- 경우 1: 같은 두 변이 2025
- 경우 2: 밑변이 2025
- 두 경우를 더하기
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
