AMC 10 · 2025 · #3

학년 7 geometry-2d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role

isosceles-trianglepolygon-inequalitysystematic-enumeration casework ↑ 선수 지식: isosceles-trianglepolygon-inequality

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 변의 길이가 모두 양의 정수이고 가장 긴 변의 길이가 $2025$ 이며 넓이가 양수인 이등변삼각형은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~2025

(B)

~2026

(C)

~3012

(D)

~3037

(E)

~4050

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 변의 길이가 모두 양의 정수이고, 넓이가 0보다 크며, 가장 긴 변의 길이가 정확히 2025인 이등변삼각형이 몇 개인지 센다.

주어진 것: 이등변삼각형이므로 적어도 두 변이 같고, 세 변을 A, A, B로 쓸 수 있다. 여기서 A와 B는 양의 정수이다.; 세 변의 길이가 모두 양의 정수이다.; 가장 긴 변의 길이가 2025이다.; 넓이가 0보다 크므로 세 변은 삼각형 부등식을 만족해야 한다(납작하게 찌그러진 삼각형은 안 된다).

구하는 것: 그런 삼각형이 몇 개인지.

이해

문제 재정리: 세 변의 길이가 모두 양의 정수이고, 넓이가 0보다 크며, 가장 긴 변의 길이가 정확히 2025인 이등변삼각형이 몇 개인지 센다.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #14 극단의 원리, #2 빠짐없이 나열하기

이등변삼각형은 같은 두 변 A, A와 나머지 한 변 B로 이루어진다. 2025는 가장 긴 변인데, 그 역할은 둘 중 하나다. 같은 두 변 중 하나이거나, 아니면 하나뿐인 나머지 변이다. 이 두 역할은 동시에 일어날 수 없으므로, 세는 문제를 이 두 작은 문제로 쪼개어 각각 깔끔히 센 뒤 더한다. 각 경우에서 변에 이름을 붙이고 삼각형 부등식의 경계까지 밀어붙이면, 세는 일이 연속한 정수의 개수를 세는 일로 바뀐다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 7.G.A.2 단계 1

변에 이름 붙이기

이등변삼각형의 변을 A, A, B로 쓰고 A와 B를 양의 정수로 둔다.
2025가 가장 긴 변이므로 이 값들 중 하나는 2025이고, 어떤 변도 2025보다 크지 않다.

\text{변} = A, A, B \quad (A, B \in \mathbb{Z}^{+}), \quad \text{가장 긴 변} = 2025

💡 모든 이등변삼각형은 같은 두 변에 나머지 한 변을 더한 것이므로, 문자 두 개면 전부 담을 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.A.2 단계 2

2025의 역할로 나누기

가장 긴 변 2025는 같은 두 변 중 하나이거나, 하나뿐인 나머지 변이다.
이 둘은 서로 겹치지 않으므로 각 경우를 따로 세어 합한다.

\text{경우 1: } 2025, 2025, B \qquad \text{경우 2: } A, A, 2025

💡 가장 큰 변은 A, A, B라는 틀 어딘가에 있어야 하는데, 앉을 자리는 두 곳뿐이다.

#14 극단의 원리 6.EE.B.8 단계 3

경우 1: 같은 두 변이 2025

변은 2025, 2025, B이다.
2025가 가장 긴 변으로 남으려면 B는 2025 이하여야 한다.
삼각형 부등식은 2025 + B > 2025, 즉 B가 1 이상이면 되고, 다른 부등식 2025 + 2025 > B는 B가 2025 이하이므로 저절로 성립한다.
따라서 B는 1부터 2025까지의 모든 정수가 되어 2025개의 삼각형이 나온다(B = 2025는 정삼각형이며, 이 역시 이등변삼각형이다).

1 \le B \le 2025 \Rightarrow 2025 \text{개의 값}

💡 긴 두 변이 같으면, 2025 이하의 어떤 밑변이라도 실제 삼각형으로 닫힌다.

#14 극단의 원리 6.EE.B.5 단계 4

경우 2: 밑변이 2025

변은 A, A, 2025이고 A는 2025보다 작다(그래야 2025가 유일하게 가장 길다).
삼각형 부등식은 같은 두 변이 밑변을 가로질러 닿아야 함을 요구한다.
A + A > 2025이므로 A > 1012.5, 즉 A는 1013 이상이다.
A가 2024 이하라는 조건과 합치면 정수 값은 1013부터 2024까지다.
이는 2024 - 1013 + 1 = 1012개의 삼각형이다.

$$2A > 2025 \Rightarrow A \ge 1013, \quad A \le 2024 \Rightarrow 2024 - 1013 + 1 = 1012$$

💡 같은 두 다리가 함께 밑변을 넘어 뻗어야 하므로, 각 다리는 2025의 절반보다 커야 한다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 5

두 경우를 더하기

두 경우는 겹치는 삼각형이 없다.
경우 1은 항상 같은 두 변이 2025이고, 경우 2는 같은 두 변이 2025보다 작다.
개수를 더하면 2025 + 1012 = 3037이므로 답은 (D)이다.

$$2025 + 1012 = 3037$$

💡 겹치지 않는 두 무더기의 삼각형은 그냥 더하면 된다.

[1] #4 7.G.A.2 이등변삼각형의 변을 A, A, B로 쓰고 A와 B를 양의 정수로 둔다. 2025가 가장 긴 변이므로 이 값들 중 하나는 2025이고, 어떤 변도

[2] #7 7.G.A.2 가장 긴 변 2025는 같은 두 변 중 하나이거나, 하나뿐인 나머지 변이다. 이 둘은 서로 겹치지 않으므로 각 경우를 따로 세어 합한다.

[3] #14 6.EE.B.8 변은 2025, 2025, B이다. 2025가 가장 긴 변으로 남으려면 B는 2025 이하여야 한다. 삼각형 부등식은 2025 + B > 202

[4] #14 6.EE.B.5 변은 A, A, 2025이고 A는 2025보다 작다(그래야 2025가 유일하게 가장 길다). 삼각형 부등식은 같은 두 변이 밑변을 가로질러 닿아

[5] #2 4.OA.A.3 두 경우는 겹치는 삼각형이 없다. 경우 1은 항상 같은 두 변이 2025이고, 경우 2는 같은 두 변이 2025보다 작다. 개수를 더하면 202

검토

합리성 확인: 두 경우는 정말로 겹치지 않는다(같은 두 변이 2025이거나, 아니면 엄밀히 2025보다 작다). 그래서 어떤 삼각형도 두 번 세지 않으며, 경계값 A = 1013은 2A = 2026 > 2025를 겨우 만족해 경우 2의 삼각형이 납작해지지 않음을 확인해 준다. 합 3037은 보기 (D)와 일치한다. 함정 답들도 흔한 실수와 맞닿아 있다. 2025는 경우 2를 빠뜨린 값이고, 3012 = 2000 + 1012는 경우 1을 B = 26부터 세거나 정삼각형 끝점을 놓친 값이다.

대안 접근: 역할로 나누는 대신 같은 변의 길이 s로 나열할 수도 있다. s = 2025이면 밑변 B는 1..2025로 (2025개), s < 2025이면 2025가 밑변이 되어 부등식 2s > 2025가 s를 1013..2024로 강제한다(1012개). 같은 분할, 같은 합 3037이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.A.2 주어진 조건으로 삼각형 등 도형 그리기 (삼각형 부등식을 이용해 어떤 정수 변 조합이 실제로 넓이가 있는 삼각형을 이루는지, 어느 변이 가장 긴지를 판단하는 데 사용.)
6.EE.B.8 x > c 또는 x < c 꼴의 부등식을 쓰고 수직선에 나타내기 ('가장 긴 변으로 남는다'와 '삼각형이 닫힌다'를 경우 1의 범위 1 <= B <= 2025로 옮기는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식이나 부등식을 참으로 만드는 값을 찾는 과정으로 이해하기 (경우 2에서 2A > 2025와 A <= 2024를 만족하는 정수 A의 값을 찾아 그 개수를 세는 데 사용.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 (연속한 정수의 개수를 각각 세고 두 경우의 합 2025 + 1012 = 3037을 구하는 데 사용.)

⭐ 가장 긴 변이 A, A, B라는 틀에서 어디에 앉을 수 있는지 묻고, 각 자리를 삼각형 부등식으로 센 뒤 더한다.