AMC 10 · 2025 · #5

학년 5 pattern
유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence
perfect-squaressequences-arithmetic pattern-recognition ↑ 선수 지식: perfect-squares
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문제
양의 정수로 이루어진 수열이 오르내리는 "산 모양"을 반복한다: 1,2,1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,1,…. 이 수열의 2025번째 항의 값을 구하라.

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(A)
5
(B)
15
(C)
16
(D)
44
(E)
45

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

2025개의 항을 모두 나열하는 것은 불가능하므로, 어떤 자리든 곧바로 건너뛰게 해 주는 규칙을 찾는 것이 승부처다. 이렇게 수가 반복되는 문제에는 도구 #5(패턴 찾기)가 제격이다. 핵심은 모든 항을 좇지 않는 것 — 대신 완전제곱수 자리(1, 4, 9, 16, 25, …)만 지켜보며 거기에 어떤 값이 놓이는지 읽어낸다. 깔끔한 규칙이 나오면 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 2025가 완전제곱수인지 확인하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지 44와 45 사이의 고전적인 하나 차이 함정을 막는다.

1STEP 1

산 모양 구조 파악하기

덩어리로 읽자: 1, 2, 3, …으로 새 꼭대기까지 올랐다가 1로 내려오고, 다음 산은 앞의 산보다 한 칸 더 높다.

1_ 2,1_ 2,3,2,1_ 2,3,4,3,2,1_ …
2STEP 2

제곱수 자리 살펴보기

완전제곱수 자리만 보자: 1번은 1, 4번은 2, 9번은 3, 16번은 4, 25번은 5. 즉 n²번 자리에는 n이 놓인다.

자리 1 → 1, 자리 4 → 2, 자리 9 → 3, 자리 16 → 4, 자리 25 → 5 → 자리 n² → n
3STEP 3

2025는 완전제곱수인가?

2025를 곱셈으로 확인하자: 44 × 44 = 1936은 모자라고, 45 × 45가 딱 맞으니 2025 = 45².

44² = 1936, 45² = 2025 → 2025 = 45²
4STEP 4

규칙 적용하고 함정 피하기

2025 = 45²은 제곱수 자리라 값은 45. 꼭대기 46은 2026번 자리에 오니, 선택지 (D) 44는 하나 차이 미끼다.

자리 2025 = 45² → 값 = 45 (E)
정답
45
이정표에서부터 세어 교차 확인한다. 산이 1로 돌아오는 자리는 1, 3, 7, 13, 21, 31, …이고, 이는 n² - n + 1이다. n = 45이면 45² - 45 + 1 = 1981로, 여기에 1이 놓인다. 거기서부터 수열은 1, 2, 3, …으로 오르므로 1981 + 44 = 2025번 자리에는 1 + 44 = 45가 놓인다 — 제곱수 자리 규칙과 정확히 일치한다. 꼭대기 46은 2026번 자리에서야 나타나므로 답은 44나 46이 아니라 45임이 확인된다.
💡핵심 정리

오르내리는 수열에서 완전제곱수 자리의 항은 그 제곱근과 같다 — 그래서 45² = 2025번 자리에는 그냥 45가 놓인다.

  • 산 모양 구조 파악하기
  • 제곱수 자리 살펴보기
  • 2025는 완전제곱수인가?
  • 규칙 적용하고 함정 피하기

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