AMC 10 · 2025 · #6

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
equilateral-triangleisosceles-triangleangle-sum-trianglepolygon-angle-sum symmetry-argument ↑ 선수 지식: equilateral-triangleangle-sum-triangle
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
정삼각형의 세 꼭짓점을 각각 두 개의 반직선으로 삼등분한다. 각 꼭짓점에서 가운데 20도 쐐기만 남긴다. 세 개의 가운데 쐐기가 겹치는 부분은 볼록 육각형이다. 이 육각형에서 가장 작은 내각의 크기를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
80
(B)
90
(C)
100
(D)
110
(E)
120

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

문장 속에 그림이 숨어 있으므로, 먼저 삼등분 반직선을 그려 세 가운데 쐐기가 어디에서 겹치는지 봐야 한다. 육각형을 그리고 나면, 삼각형의 120도 회전 대칭 덕분에 각들이 반복되는 패턴을 이루어 여섯 개의 미지 각이 두 개로 줄어든다. 한 각은 삼각형의 변과 두 반직선 사이에 끼인 작은 삼각형(깔끔한 작은 문제)에서 나오고, 마지막 각은 두 반복 값을 문자로 놓은 뒤 육각형의 내각 합 식에서 저절로 나온다.

1STEP 1

삼등분된 꼭짓점 그리기

정삼각형의 각 60도 꼭짓점을 두 반직선으로 20도씩 나누고 가운데 쐐기를 칠하면, 그 겹침이 육각형이다.

60° = 20° + 20° + 20°
2STEP 2

120도 대칭 이용하기

중심을 기준으로 120도 돌리면 육각형이 자기 자신에 포개지므로, 큰 각 b 셋과 작은 각 s 셋이 번갈아 나온다.

각 = b, s, b, s, b, s (b 세 개, s 세 개)
3STEP 3

변에서 작은 삼각형 끼워내기

변 AB의 양 끝에서 20도씩 기울어진 두 반직선이 P에서 만나므로, 각 APB는 140도이다.

∠ APB = 180° - 20° - 20° = 140°
4STEP 4

육각형의 큰 각 읽어내기

육각형은 P 너머에 있으므로 그 각은 각 APB의 맞꼭지각인 b = 140도이고, 대칭으로 그런 각이 셋이다.

b = 140° (∠ APB 의 맞꼭지각)
5STEP 5

작은 각 구하기

육각형 내각의 합은 720도이므로 3(140) + 3s = 720에서 s = 100도, 이것이 가장 작은 각이며 선택지 (C)이다.

3(140°) + 3s = 720° → 3s = 300° → s = 100°
정답
100
여섯 각은 140, 100, 140, 100, 140, 100이고 그 합은 3(140) + 3(100) = 720도로 육각형에 필요한 합과 정확히 맞아 일관적이다. 평균은 120도로 정육각형과 같으며, 삼등분은 그 정육각형을 140도와 100도가 번갈아 나오는 모양으로 늘렸을 뿐이다. 매력적인 오답 120은 평균이지 최솟값이 아니며, 100은 140보다 확실히 작으므로 (C)가 진짜 최솟값이다.
💡핵심 정리

반직선을 그려 육각형을 드러내고, 삼각형의 3분의 1 회전 대칭으로 여섯 각을 둘로 줄인 뒤, 720도라는 합으로 마무리하자.

  • 삼등분된 꼭짓점 그리기
  • 120도 대칭 이용하기
  • 변에서 작은 삼각형 끼워내기
  • 육각형의 큰 각 읽어내기
  • 작은 각 구하기

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