AMC 10 · 2025 · #6

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

equilateral-triangleisosceles-triangleangle-sum-trianglepolygon-angle-sum symmetry-argument ↑ 선수 지식: equilateral-triangleangle-sum-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정삼각형의 각 내각을 두 개의 반직선이 $3$ 등분한다. 각 꼭짓점에서 가운데에 있는 $20^{\circ}$ 각의 내부를 모두 교집합하면 그 영역이 볼록 육각형의 내부가 된다. 이 육각형의 가장 작은 각의 크기는 몇 도인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

100

(D)

110

(E)

120

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정삼각형의 세 꼭짓점을 각각 두 개의 반직선으로 삼등분한다. 각 꼭짓점에서 가운데 20도 쐐기만 남긴다. 세 개의 가운데 쐐기가 겹치는 부분은 볼록 육각형이다. 이 육각형에서 가장 작은 내각의 크기를 구하라.

주어진 것: 삼각형은 정삼각형이므로 각 내각은 60도이다.; 각 60도 각을 삼등분하여 꼭짓점마다 20도짜리 슬라이스 세 개를 만든다.; 각 꼭짓점에서는 가운데 20도 쐐기(두 삼등분 반직선 사이의 조각)를 택한다.; 세 가운데 쐐기가 공통으로 겹치는 영역이 볼록 육각형이다.

구하는 것: 육각형에서 가장 작은 내각의 각도.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기

문장 속에 그림이 숨어 있으므로, 먼저 삼등분 반직선을 그려 세 가운데 쐐기가 어디에서 겹치는지 봐야 한다. 육각형을 그리고 나면, 삼각형의 120도 회전 대칭 덕분에 각들이 반복되는 패턴을 이루어 여섯 개의 미지 각이 두 개로 줄어든다. 한 각은 삼각형의 변과 두 반직선 사이에 끼인 작은 삼각형(깔끔한 작은 문제)에서 나오고, 마지막 각은 두 반복 값을 문자로 놓은 뒤 육각형의 내각 합 식에서 저절로 나온다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 4.MD.C.7 단계 1

삼등분된 꼭짓점 그리기

정삼각형을 그리고, 각 60도 꼭짓점에서 그 각을 20도씩 세 조각으로 나누는 두 반직선을 그린다.
각 꼭짓점의 가운데 조각을 색칠한다.
세 색칠 쐐기는 가운데에서 교차하고, 그 공통 겹침이 우리가 찾는 육각형이다.

$$60^\circ = 20^\circ + 20^\circ + 20^\circ$$

💡 반직선을 그리기 전에는 육각형이 보이지 않으며, 각 꼭짓점은 그저 20도짜리 똑같은 세 조각으로 나뉜다.

#5 패턴 찾기 8.G.A.1 단계 2

120도 대칭 이용하기

전체 그림을 삼각형의 중심을 기준으로 120도 돌리면 각 꼭짓점이 다음 꼭짓점으로 옮겨가고 육각형은 자기 자신에 정확히 포개진다.
따라서 여섯 내각이 모두 다를 수는 없다.
큰 값과 작은 값이 번갈아 나오는 패턴으로 반복되며, 각 값이 세 개씩 있다.

\text{각} = b, s, b, s, b, s \quad (b \text{ 세 개}, \ s \text{ 세 개})

💡 3분의 1 회전 후에도 똑같아 보이는 도형은 각이 세 번 반복되는 패턴으로 나올 수밖에 없다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 3

변에서 작은 삼각형 끼워내기

한 변, 예를 들어 AB를 보자.
그 가운데 쐐기의 경계인 A에서 나온 반직선은 AB와 20도를 이루고, B에서 나온 대응 반직선은 BA와 20도를 이룬다.
두 반직선은 점 P에서 만나 밑각이 각각 20도인 작은 삼각형 APB를 이룬다.
그 꼭대기 각은 180 - 20 - 20 = 140도이다.

$$\angle APB = 180^\circ - 20^\circ - 20^\circ = 140^\circ$$

💡 삼각형의 각의 합은 180도이므로, 20도씩 기울어진 두 반직선이 만나는 각에는 140도가 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.5 단계 4

육각형의 큰 각 읽어내기

육각형은 P의 반대쪽에 놓이고, P에서 나가는 두 변은 바로 그 두 반직선을 P 너머로 곧게 연장한 것이다.
따라서 P에서의 육각형 각은 각 APB의 맞꼭지각과 같아 140도이다.
3중 대칭에 의해 육각형의 각 세 개가 140도이다.
이것이 큰 값 b이다.

b = 140^\circ \quad (\angle APB \text{의 맞꼭지각})

💡 두 직선이 P에서 교차하면 반대쪽 각이 서로 같으므로, 육각형 모서리는 140도짜리 삼각형 모서리와 같다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.5 단계 5

작은 각 구하기

볼록 육각형의 내각의 합은 언제나 (6 - 2) 곱하기 180 = 720도이다.
140도짜리 각 세 개와 작은 값 s 세 개가 있으므로 3(140) + 3s = 720, 즉 420 + 3s = 720이고 s = 100도이다.
100은 140보다 작으므로 육각형의 가장 작은 각은 100도이고, 이는 선택지 (C)이다.

$$3(140^\circ) + 3s = 720^\circ \Rightarrow 3s = 300^\circ \Rightarrow s = 100^\circ$$

💡 여섯 각 중 세 개를 알면, 720도라는 고정된 합이 나머지 세 개를 결정한다.

[1] #1 4.MD.C.7 정삼각형을 그리고, 각 60도 꼭짓점에서 그 각을 20도씩 세 조각으로 나누는 두 반직선을 그린다. 각 꼭짓점의 가운데 조각을 색칠한다. 세 색

[2] #5 8.G.A.1 전체 그림을 삼각형의 중심을 기준으로 120도 돌리면 각 꼭짓점이 다음 꼭짓점으로 옮겨가고 육각형은 자기 자신에 정확히 포개진다. 따라서 여섯

[3] #7 8.G.A.5 한 변, 예를 들어 AB를 보자. 그 가운데 쐐기의 경계인 A에서 나온 반직선은 AB와 20도를 이루고, B에서 나온 대응 반직선은 BA와 20

[4] #7 7.G.B.5 육각형은 P의 반대쪽에 놓이고, P에서 나가는 두 변은 바로 그 두 반직선을 P 너머로 곧게 연장한 것이다. 따라서 P에서의 육각형 각은 각 A

[5] #4 8.G.A.5 볼록 육각형의 내각의 합은 언제나 (6 - 2) 곱하기 180 = 720도이다. 140도짜리 각 세 개와 작은 값 s 세 개가 있으므로 3(14

검토

합리성 확인: 여섯 각은 140, 100, 140, 100, 140, 100이고 그 합은 3(140) + 3(100) = 720도로 육각형에 필요한 합과 정확히 맞아 일관적이다. 평균은 120도로 정육각형과 같으며, 삼등분은 그 정육각형을 140도와 100도가 번갈아 나오는 모양으로 늘렸을 뿐이다. 매력적인 오답 120은 평균이지 최솟값이 아니며, 100은 140보다 확실히 작으므로 (C)가 진짜 최솟값이다.

대안 접근: 내각 합 식 대신 작은 각을 직접 구할 수도 있다. 안쪽 육각형 꼭짓점에서는 서로 다른 꼭짓점에서 나온 두 반직선이 교차하는데, 그것이 도형의 한 조각과 이루는 작은 삼각형을 따라가면 밑각이 100도의 벌어짐을 남긴다. 두 방법 모두 두 각 유형이 140과 100임을 확인하므로 최솟값은 100이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.MD.C.7 Recognize angle measure as additive and solve addition and subtraction problems (20 + 20 + 20 = 60이므로 각 60도 꼭짓점을 20도짜리 똑같은 세 조각으로 나누는 데 사용.)
8.G.A.1 Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations (120도 회전 대칭을 이용해 육각형의 각이 반복됨을 밝히고 두 값이 각각 세 개씩임을 얻는 데 사용.)
8.G.A.5 Use informal arguments to establish facts about angle sum and exterior angles (작은 삼각형의 각의 합에서 140도를 얻고, 육각형의 720도 합으로 작은 각을 구하는 데 사용.)
7.G.B.5 Use facts about supplementary, complementary, vertical, and adjacent angles (작은 삼각형의 140도 꼭대기 각을 맞꼭지각을 통해 그 꼭짓점에서의 육각형 각으로 바꾸는 데 사용.)

⭐ 반직선을 그려 육각형을 드러내고, 삼각형의 3분의 1 회전 대칭으로 여섯 각을 둘로 줄인 뒤, 720도라는 합으로 마무리하자.