AMC 10 · 2025 · #9

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Coordinate Graph Slope as Rate

polynomial-factoringpolynomial-rootssign-analysis convert-to-algebra ↑ 선수 지식: polynomial-factoringquadratic-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$f(x) = 100x^3 - 300x^2 + 200x$ 라고 하자. $y = f(x - a)$ 의 그래프가 점 $(1, 25)$ 를 지나도록 하는 실수 $a$ 는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

$\text{more than } 4$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $f(x) = 100x^3 - 300x^2 + 200x$ 가 주어졌을 때, 평행이동한 그래프 $y = f(x - a)$ 가 점 $(1, 25)$ 를 지나도록 하는 실수 $a$ 가 몇 개인지 세세요.

주어진 것: $f(x) = 100x^3 - 300x^2 + 200x$; 평행이동한 곡선은 실수 $a$ 에 대해 $y = f(x-a)$; 이 곡선이 점 $(1, 25)$ 를 지나야 한다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $4$ 보다 많음

구하는 것: 조건을 만족하는 실수 $a$ 의 개수

이해

문제 재정리: $f(x) = 100x^3 - 300x^2 + 200x$ 가 주어졌을 때, 평행이동한 그래프 $y = f(x - a)$ 가 점 $(1, 25)$ 를 지나도록 하는 실수 $a$ 가 몇 개인지 세세요.

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #14 극단의 원리

조건을 만족하는 $a$ 의 개수는 사실 교점의 개수이므로, 핵심은 곡선을 머릿속에 그리는 것입니다. 먼저 도구 #4(변수 도입하기): $t = 1 - a$ 로 두면 "$(1,25)$ 를 지난다"가 "$f(t) = 25$ 를 만족하는 실수 $t$ 가 몇 개인가?"라는 깔끔한 질문으로 바뀌고, $a = 1 - t$ 가 일대일 대응이므로 두 개수는 같습니다. 다음으로 도구 #1(그림 그리기): $f$ 를 인수분해해 근을 표시하고 모양을 읽으면, 수평선 $y = 25$ 와의 교점을 눈으로 셀 수 있습니다. 마지막으로 도구 #14(극단의 원리): 봉우리의 최고 높이와 곡선의 끝 방향을 $25$ 와 비교하면 교점이 정확히 몇 개인지 확정됩니다 — 답 전체가 이 경계 높이들에 달려 있습니다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 8.F.A.1 단계 1

점 조건을 식으로 바꾸기

곡선 $y = f(x-a)$ 가 $(1, 25)$ 를 지나는 것은 $x = 1$ 에서의 높이가 $25$ 인 것과 정확히 같습니다.
$x = 1$ 을 대입하면 단 하나의 조건 $f(1 - a) = 25$ 를 얻습니다.

$$f(1 - a) = 25$$

💡 "$(1,25)$ 를 지난다"는 곧 "그 입력에서 함수의 출력이 $25$ 다"일 뿐, 그 이상은 없습니다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 2

입력을 바꿔 깔끔하게 세기

$t = 1 - a$ 로 둡니다.
$a = 1 - t$ 이므로 모든 $a$ 는 정확히 하나의 $t$ 를 주고, 모든 $t$ 는 정확히 하나의 $a$ 를 줍니다 — 일대일 대응입니다.
따라서 조건을 만족하는 $a$ 의 개수는 $f(t) = 25$ 를 만족하는 실수 $t$ 의 개수와 같습니다.

$$t = 1 - a \;\Rightarrow\; \#\{a\} = \#\{\,t : f(t) = 25\,\}$$

💡 가로 평행이동은 그래프를 옆으로 밀 뿐 도달하는 높이는 그대로 두므로, $a$ 를 세는 것은 $f$ 자체가 $25$ 가 되는 곳을 세는 것과 같습니다.

#1 그림 그리기 6.EE.A.3 단계 3

인수분해로 근 찾기

모양을 보기 위해 삼차식을 인수분해합니다.
$100t$ 를 묶어내고 이차식을 인수분해하면 $f(t) = 100t(t^2 - 3t + 2) = 100t(t-1)(t-2)$.
그러므로 $f$ 는 $t = 0,\ 1,\ 2$ 에서 $0$ 입니다.

$$f(t) = 100t(t-1)(t-2)$$

💡 삼차식을 인수들의 곱으로 쓰면 곡선이 $t$ 축에 닿는 자리를 그대로 드러냅니다.

#1 그림 그리기 8.F.B.5 단계 4

부호 패턴 읽기

근이 $0, 1, 2$ 이고 최고차항 계수가 양수이므로, 그래프는 $t < 0$ 에서 음수, $(0,1)$ 에서 양의 봉우리, $(1,2)$ 에서 음수로 내려갔다가, $t > 2$ 에서 $+\infty$ 로 올라갑니다.
목표 높이 $25$ 는 양수이므로 교점은 양의 봉우리 $(0,1)$ 과 마지막 상승 구간 $t > 2$ 에서만 생길 수 있습니다.

$$t<0 \text{ 에서 } f<0,\quad (0,1) \text{ 에서 } f>0,\quad (1,2) \text{ 에서 } f<0,\quad t>2 \text{ 에서 } f>0$$

💡 $y = 25$ 같은 양의 수평선은 곡선이 양수인 곳에서만 만날 수 있습니다.

#14 극단의 원리 6.EE.A.2 단계 5

봉우리를 25 와 견주기

$(0,1)$ 의 봉우리가 $25$ 를 넘는지 확인합니다.
중점 $t = \tfrac12$ 에서: $f\!\left(\tfrac12\right) = 100\cdot\tfrac12\cdot\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right) = 37.5$.
$f(0)=0<25$ 이고 봉우리가 $37.5>25$ 까지 올랐다가 다시 $f(1)=0<25$ 로 내려오므로, $25$ 를 넘어 올라갔다 내려오면서 $(0,1)$ 에서 정확히 두 번 교차합니다.

$$f\!\left(\tfrac12\right) = 100\cdot\tfrac12\cdot\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right) = 37.5 > 25$$

💡 언덕이 $25$ 아래에서 시작해 $25$ 아래에서 끝나지만 꼭대기는 $25$ 위라면, 수평선 $y=25$ 는 반드시 두 번 지나게 됩니다.

#14 극단의 원리 8.F.B.5 단계 6

마지막 상승을 세고 합치기

$t > 2$ 에서는 $f(2)=0<25$ 이고 $f$ 가 끝없이 올라가므로 $25$ 를 정확히 한 번 지납니다.
봉우리의 두 교점에 이 하나를 더하면 $2 + 1 = 3$ 개의 실수 해 $t$ 가 되고, 따라서 실수 $a$ 도 $3$ 개입니다.
답은 $\textbf{(C)}$ 입니다.

$$\underbrace{2}_{(0,1)} + \underbrace{1}_{t>2} = 3 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $25$ 아래에서 시작해 끝없이 커지는 가지는 그 수평선을 딱 한 번만 지날 수밖에 없습니다.

[1] #4 8.F.A.1 곡선 $y = f(x-a)$ 가 $(1, 25)$ 를 지나는 것은 $x = 1$ 에서의 높이가 $25$ 인 것과 정확히 같습니다. $x = 1$

[2] #4 8.EE.C.7 $t = 1 - a$ 로 둡니다. $a = 1 - t$ 이므로 모든 $a$ 는 정확히 하나의 $t$ 를 주고, 모든 $t$ 는 정확히 하나의 $

[3] #1 6.EE.A.3 모양을 보기 위해 삼차식을 인수분해합니다. $100t$ 를 묶어내고 이차식을 인수분해하면 $f(t) = 100t(t^2 - 3t + 2) = 1

[4] #1 8.F.B.5 근이 $0, 1, 2$ 이고 최고차항 계수가 양수이므로, 그래프는 $t < 0$ 에서 음수, $(0,1)$ 에서 양의 봉우리, $(1,2)$ 에

[5] #14 6.EE.A.2 $(0,1)$ 의 봉우리가 $25$ 를 넘는지 확인합니다. 중점 $t = \tfrac12$ 에서: $f\!\left(\tfrac12\right)

[6] #14 8.F.B.5 $t > 2$ 에서는 $f(2)=0<25$ 이고 $f$ 가 끝없이 올라가므로 $25$ 를 정확히 한 번 지납니다. 봉우리의 두 교점에 이 하나를

검토

합리성 확인: 상한이 공짜로 따라옵니다: $f(t)=25$ 는 삼차방정식 $100t^3 - 300t^2 + 200t - 25 = 0$ 로 정리되고, $3$ 차 다항식은 실근을 많아야 $3$ 개 가집니다. 이것만으로 선택지 (D) $4$ 와 (E) $4$ 보다 많음 은 지워집니다. 그리고 세 근이 모두 실수임을 보였고 — 봉우리에 둘, $t=2$ 너머에 하나 — 꼭대기의 여유도 넉넉합니다: $37.5$ 는 $25$ 보다 충분히 위에 있으므로 봉우리의 두 교점은 접점 하나가 아니라 서로 다른 진짜 두 교점입니다. 모든 것이 정확히 $3$ 과 일치합니다.

대안 접근: 중점 대신 곡선의 극값을 이용합니다. 이 삼차식의 극대값은 $f\!\left(1-\tfrac{1}{\sqrt3}\right)\approx 38.5$, 극소값은 $\approx -38.5$ 입니다. 수평선 $y=k$ 가 삼차곡선과 정확히 세 점에서 만나는 것은 $k$ 가 극소값과 극대값 사이에 진짜로 놓일 때와 정확히 같습니다. $-38.5 < 25 < 38.5$ 이므로 $y=25$ 는 곡선과 세 번 만나며, 어떤 특정 점을 시험하지 않고도 (C) 를 확인해 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.F.A.1 함수는 각 입력에 정확히 하나의 출력을 대응시키는 규칙임을 이해하기 ("$y=f(x-a)$ 의 그래프가 $(1,25)$ 를 지난다"를 함수식 $f(1-a)=25$ 로 읽는 데 사용.)
8.EE.C.7 일차방정식 풀기 (일차 치환 $t = 1 - a$ 를 일대일 대응으로 써서, 조건을 만족하는 $a$ 를 세는 것을 $f(t)=25$ 의 실근을 세는 것으로 바꾸는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 ($100t^3 - 300t^2 + 200t$ 를 동치인 곱 $100t(t-1)(t-2)$ 로 인수분해해 근을 드러내는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산하기 ($f$ 를 $t = 0, \tfrac12, 1, 2$ 에서 계산해 곡선의 높이를 $25$ 와 비교하는 데 사용.)
8.F.B.5 두 양 사이의 함수 관계를 정성적으로 묘사하기 (삼차곡선의 부호 패턴과 끝 방향을 묘사해 $y=25$ 와 교차하는 곳을 세는 데 사용.)

⭐ 가로 평행이동은 그래프가 어떤 높이에 몇 번 도달하는지를 절대 바꾸지 않으니, 삼차곡선 $y=f(t)$ 가 $y=25$ 와 만나는 곳만 세면 됩니다 — 그리고 삼차곡선은 수평선을 많아야 세 번 지납니다.