AMC 10 · 2025 · #9

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Coordinate Graph Slope as Rate

polynomial-factoringpolynomial-rootssign-analysis convert-to-algebra ↑ 선수 지식: polynomial-factoringquadratic-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

f(x) = 100x³ - 300x² + 200x 가 주어졌을 때, 평행이동한 그래프 y = f(x - a) 가 점 (1, 25) 를 지나도록 하는 실수 a 가 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

$\text{more than } 4$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

조건을 만족하는 a 의 개수는 사실 교점의 개수이므로, 핵심은 곡선을 머릿속에 그리는 것입니다. 먼저 도구 #4(변수 도입하기): t = 1 - a 로 두면 "(1,25)를 지난다"가 "f(t) = 25를 만족하는 실수 t 가 몇 개인가?"라는 깔끔한 질문으로 바뀌고, a = 1 - t 가 일대일 대응이므로 두 개수는 같습니다. 다음으로 도구 #1(그림 그리기): f 를 인수분해해 근을 표시하고 모양을 읽으면, 수평선 y = 25 와의 교점을 눈으로 셀 수 있습니다. 마지막으로 도구 #14(극단의 원리): 봉우리의 최고 높이와 곡선의 끝 방향을 25와 비교하면 교점이 정확히 몇 개인지 확정됩니다 — 답 전체가 이 경계 높이들에 달려 있습니다.

1STEP 1

점 조건을 식으로 바꾸기

(1, 25)를 지난다는 것은 x = 1 에서 높이가 25 라는 뜻이므로, 조건은 f(1 - a) = 25 하나뿐입니다.

f(1 - a) = 25

2STEP 2

입력을 바꿔 깔끔하게 세기

t = 1 - a 로 두면 a = 1 - t 는 일대일 대응이므로, a 를 세는 일은 f(t) = 25 의 실근을 세는 일이 됩니다.

t = 1 - a → #{a} = #{ t : f(t) = 25 }

3STEP 3

인수분해로 근 찾기

100t 를 묶고 이차식을 인수분해하면 f(t) = 100t(t-1)(t-2) 이므로, 영점은 t = 0, 1, 2입니다.

f(t) = 100t(t-1)(t-2)

4STEP 4

부호 패턴 읽기

그 근들과 양의 최고차 계수로 f 가 양수인 곳은 봉우리 (0,1)과 t = 2 너머의 상승 뿐이고, 25도 거기서만 나옵니다.

t ＜ 0 에서 f ＜ 0, (0,1) 에서 f ＞ 0, (1,2) 에서 f ＜ 0, t ＞ 2 에서 f ＞ 0

5STEP 5

봉우리를 25와 견주기

중점에서 f(1/2) = 37.5 로 25를 넘고 f(0) = f(1) = 0 이므로, 봉우리는 25 위로 올랐다 내려와 두 번 교차합니다.

f (1/2) = 100·1/2·(-1/2)(-3/2) = 37.5 ＞ 25

6STEP 6

마지막 상승을 세고 합치기

t = 2 너머에서는 0 에서 끝없이 올라 25를 한 번 더 지나므로, 2 + 1 = 3 개의 a 가 되어 답은 (C)입니다.

2_(0,1) + 1_t ＞ 2 = 3 → (C)

정답

상한이 공짜로 따라옵니다: f(t)=25는 삼차방정식 100t³ - 300t² + 200t - 25 = 0로 정리되고, 3 차 다항식은 실근을 많아야 3 개 가집니다. 이것만으로 선택지 (D) 4와 (E) 4 보다 많음 은 지워집니다. 그리고 세 근이 모두 실수임을 보였고 — 봉우리에 둘, t=2 너머에 하나 — 꼭대기의 여유도 넉넉합니다: 37.5는 25 보다 충분히 위에 있으므로 봉우리의 두 교점은 접점 하나가 아니라 서로 다른 진짜 두 교점입니다. 모든 것이 정확히 3 과 일치합니다.

💡핵심 정리

가로 평행이동은 그래프가 어떤 높이에 몇 번 도달하는지를 절대 바꾸지 않으니, 삼차곡선 y=f(t)가 y=25와 만나는 곳만 세면 됩니다 — 그리고 삼차곡선은 수평선을 많아야 세 번 지납니다.

점 조건을 식으로 바꾸기
입력을 바꿔 깔끔하게 세기
인수분해로 근 찾기
부호 패턴 읽기
봉우리를 25와 견주기
마지막 상승을 세고 합치기