AMC 10 · 2025 · #12

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

equilateral-trianglearea-circlessimilar-figuresarea-regular-hexagon identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 그림은 정삼각형, $60^\circ$ 의 각을 가진 마름모, 그리고 정육각형을 나타내며, 각 도형 안에는 서로 접하는 합동인 원판들이 들어 있다. $T, R, H$ 를 각각 세 경우에서 원판들의 넓이의 합과 이를 둘러싼 다각형의 넓이의 비라고 하자. 다음 중 옳은 것은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

T=H=R

(B)

H<R=T

(C)

H=R<T

(D)

H<R<T

(E)

H<T<R

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 도형이 각각 서로 맞닿은 크기가 같은 원들을 품고 있다: 정삼각형은 원 $3$개, $60^\circ$ 각을 가진 마름모는 원 $2$개, 정육각형은 원 $6$개를 담고 있다. 각 도형에서 (원들의 넓이 합) $\div$ (도형의 넓이) 비를 만들어 각각 $T$, $R$, $H$라 한다. $T$, $R$, $H$의 크기를 비교하라.

주어진 것: 정삼각형은 크기가 같고 서로 맞닿은 원판 $3$개를 담는다(각 원판은 삼각형의 두 변에 접한다); 이 비가 $T$; $60^\circ$ 각을 가진 마름모는 크기가 같고 맞닿은 원판 $2$개를 담는다; 이 비가 $R$; 정육각형은 크기가 같고 맞닿은 원판 $6$개를 담는다; 이 비가 $H$; 각 비는 (원판 넓이 합)을 (둘러싼 다각형의 넓이)로 나눈 값이다; 선택지: (A) $T=H=R$, (B) $H<R=T$, (C) $H=R<T$, (D) $H<R<T$, (E) $H<T<R$

구하는 것: 세 비 $T$, $R$, $H$ 사이의 올바른 대소 순서

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

세 도형을 한꺼번에 비교하면 벅차므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 도형을 원 하나씩을 품은 정삼각형들로 자른다. 마름모와 육각형에서는 그 원이 삼각형의 내접원이므로, 둘 다 하나의 기본 단위(내접원을 가진 정삼각형 하나)의 복사본으로 줄어든다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 그 기본 비를 한 번만 계산해 $R$과 $H$ 모두에 재사용한다. 도구 #1(그림 그리기)은 자르는 선과 모서리 기하를 제공한다. 삼각형의 원 세 개는 (내접원이 아니라 각 모서리에 붙어) 다르게 배치되므로 그 비는 따로 구하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 이 비교에 맞는 선택지가 하나뿐임을 확인한다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

마름모와 육각형을 삼각형으로 자르기

$60^\circ$ 각을 가진 마름모는 짧은 대각선을 따라 정삼각형 두 개로 갈라진다.
정육각형은 중심에서 정삼각형 여섯 개로 갈라진다.
그림에서 이 두 도형의 각 원판은 그 삼각형 하나 안에 꼭 들어가 세 변에 모두 접한다 — 바로 삼각형의 내접원이다.

$$\text{마름모} = 2\ \triangle,\qquad \text{육각형} = 6\ \triangle,\qquad \text{각 원판} = \triangle\text{의 내접원}$$

💡 $60^\circ$ 마름모와 정육각형은 결국 정삼각형들을 이어 붙인 것이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.1 단계 2

같은 단위이므로 R = H

마름모와 육각형은 모두 똑같은 단위(내접원을 품은 정삼각형)의 복사본으로 이루어진다.
마름모는 $2$개, 육각형은 $6$개다.
분자와 분모를 같은 개수만큼 늘리면 비는 변하지 않으므로, $R$과 $H$는 모두 그 한 단위의 (원판)/(삼각형) 비와 같다.
따라서 $H=R$이다.

$$R=\dfrac{2\,A_{\text{내접원}}}{2\,A_{\triangle}}=\dfrac{A_{\text{내접원}}}{A_{\triangle}},\quad H=\dfrac{6\,A_{\text{내접원}}}{6\,A_{\triangle}}=\dfrac{A_{\text{내접원}}}{A_{\triangle}}\ \Rightarrow\ H=R$$

💡 같은 타일을 여러 번 복사해도 채워진 넓이의 비율은 그대로다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.G.B.7 단계 3

기본 단위의 삼각형과 내접원 재기

한 변이 $s$인 정삼각형을 잡자.
높이는 $\tfrac{\sqrt3}{2}s$이고(수선을 내려 생기는 직각삼각형 이용), 넓이는 $\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$이다.
내접원의 중심은 무게중심이므로 반지름은 높이의 $\tfrac13$, 즉 $r=\tfrac{\sqrt3}{6}s=\tfrac{s}{2\sqrt3}$이다.

$$A_{\triangle}=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2,\qquad r=\dfrac{s}{2\sqrt3}$$

💡 정삼각형을 가운데로 반 자르면 정확히 잴 수 있는 직각삼각형이 생긴다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.G.B.4 단계 4

기본 비 (이것이 H = R)

내접원 넓이는 $\pi r^2=\pi\big(\tfrac{s}{2\sqrt3}\big)^2=\tfrac{\pi s^2}{12}$이다.
삼각형 넓이 $\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$로 나누면 $s^2$이 약분되어 고정된 수가 남는다.
이것이 $H$와 $R$의 공통값이며 약 $0.605$이다.

$$H=R=\dfrac{\pi s^2/12}{\sqrt3\,s^2/4}=\dfrac{\pi}{3\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3\,\pi}{9}\approx0.605$$

💡 내접원 하나는 크기와 상관없이 어떤 정삼각형에서도 항상 같은 몫을 채운다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 5

삼각형 T 안의 원판 반지름 구하기

삼각형의 원판 세 개는 다르다: 각각 $60^\circ$ 모서리에 붙어 두 변에 접하고, 이웃한 원판끼리 서로 맞닿는다.
반지름 $\rho$인 원판이 $60^\circ$ 모서리의 두 변에 접하면 중심은 꼭짓점에서 이등분선을 따라 $2\rho$만큼 떨어진다.
원판끼리의 접함을 따지면 한 변의 길이는 $s=2\rho(1+\sqrt3)$이 되어 $\rho=\dfrac{s}{2(1+\sqrt3)}$이다.

$$s=2\rho\,(1+\sqrt3)\ \Rightarrow\ \rho=\dfrac{s}{2(1+\sqrt3)}$$

💡 삼각형의 세 모서리에 밀어 넣은 원들은 가운데에 놓인 원 하나와는 다르게 자리 잡는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 6

삼각형의 비 T 계산하기

원판 세 개의 넓이 합은 $3\pi\rho^2$이다.
삼각형 넓이 $\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$로 나누고 $\rho=\tfrac{s}{2(1+\sqrt3)}$을 대입하면 다시 $s^2$이 약분된다.
$(1+\sqrt3)^2=4+2\sqrt3$을 쓰면 $T=\dfrac{3\pi}{6+4\sqrt3}\approx0.729$로 정리된다.

$$T=\dfrac{3\pi\rho^2}{\tfrac{\sqrt3}{4}s^2}=\dfrac{3\pi}{\sqrt3\,(1+\sqrt3)^2}=\dfrac{3\pi}{6+4\sqrt3}\approx0.729$$

💡 원 세 개를 모서리에 몰아넣으면 가운데 원 하나보다 버려지는 공간이 적다.

#3 가능성 지우기 8.NS.A.2 단계 7

비교하고 답 고르기

이제 수를 비교한다: $H=R\approx0.605$인데 $T\approx0.729$이므로 $H=R<T$이다.
선택지 중에서 두 비가 같고 그 둘이 나머지 하나보다 이런 식으로 작다고 말하는 것은 (C)뿐이다.
따라서 답은 (C)이다.

$$H=R\approx0.605<T\approx0.729\ \Rightarrow\ H=R<T=\textbf{(C)}$$

💡 비를 소수로 바꾸면 순서가 한눈에 보인다.

[1] #1 6.G.A.1 $60^\circ$ 각을 가진 마름모는 짧은 대각선을 따라 정삼각형 두 개로 갈라진다. 정육각형은 중심에서 정삼각형 여섯 개로 갈라진다. 그림에

[2] #7 6.RP.A.1 마름모와 육각형은 모두 똑같은 단위(내접원을 품은 정삼각형)의 복사본으로 이루어진다. 마름모는 $2$개, 육각형은 $6$개다. 분자와 분모를 같

[3] #9 8.G.B.7 한 변이 $s$인 정삼각형을 잡자. 높이는 $\tfrac{\sqrt3}{2}s$이고(수선을 내려 생기는 직각삼각형 이용), 넓이는 $\tfrac

[4] #9 7.G.B.4 내접원 넓이는 $\pi r^2=\pi\big(\tfrac{s}{2\sqrt3}\big)^2=\tfrac{\pi s^2}{12}$이다. 삼각형 넓

[5] #7 8.G.B.7 삼각형의 원판 세 개는 다르다: 각각 $60^\circ$ 모서리에 붙어 두 변에 접하고, 이웃한 원판끼리 서로 맞닿는다. 반지름 $\rho$인

[6] #7 7.G.B.4 원판 세 개의 넓이 합은 $3\pi\rho^2$이다. 삼각형 넓이 $\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$로 나누고 $\rho=\tfrac{s}

[7] #3 8.NS.A.2 이제 수를 비교한다: $H=R\approx0.605$인데 $T\approx0.729$이므로 $H=R<T$이다. 선택지 중에서 두 비가 같고 그

검토

합리성 확인: 그림을 보면 삼각형이 원으로 가장 꽉 차 보이고, 육각형과 마름모는 서로 비슷하게 차 있으면서 조금 더 비어 보인다 — $H=R<T$와 맞는다. 정확한 값도 이를 확인해 준다: $H=R=\tfrac{\sqrt3\pi}{9}\approx0.605$이고 $T=\tfrac{3\pi}{6+4\sqrt3}\approx0.729$이며 $0.605<0.729$이다. 도형 안 원들의 넓이 비는 반드시 $1$보다 작아야 하는데 둘 다 안전하게 그 아래에 있다. $H=R$이 정확히 같은 것은 반올림의 우연이 아니라, 두 도형이 문자 그대로 같은 (삼각형+내접원) 단위로 채워져 있기 때문이다.

대안 접근: $T$를 정확히 계산하지 않아도 된다. $H=R$(같은 타일 단위)임을 보고 나면 다섯 선택지를 훑어본다: "$H=R$"이면서 그 둘이 $T$와 다른 것은 (C)뿐이다. 답은 반드시 존재하고, 그림에서 삼각형이 육각형보다 확실히 더 꽉 차 있으므로($T>H$), (C)가 소거로 강제된다 — 시험장에서 속도로 보상받는 바로 그 경로다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing ($60^\circ$ 마름모를 정삼각형 $2$개로, 정육각형을 정삼각형 $6$개로 쪼개어 각 삼각형이 원 하나씩을 품게 하는 데 사용.)
6.RP.A.1 Understand the concept of a ratio and use ratio language (같은 (삼각형+내접원) 단위로 타일링하면 넓이 비가 변하지 않으므로 $H=R$임을 논증하는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (정삼각형의 높이와 내접원 반지름을 구하고, 각 모서리 원판의 중심이 꼭짓점에서 $2\rho$ 떨어짐을 찾는 데 사용.)
7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (원판 넓이 $\pi r^2$과 $3\pi\rho^2$을 계산해 기본 비 $H=R$과 삼각형 비 $T$를 만드는 데 사용.)
8.NS.A.2 Use rational approximations of irrational numbers to compare their size ($\tfrac{\sqrt3\pi}{9}\approx0.605$과 $\tfrac{3\pi}{6+4\sqrt3}\approx0.729$을 근삿값으로 바꿔 비의 순서를 정하는 데 사용.)

⭐ $60^\circ$ 마름모와 정육각형은 둘 다 (원 하나를 품은 정삼각형) 같은 타일로 만들어져 채움 비가 같고, 삼각형은 원 세 개를 더 빽빽이 채우므로 이긴다: $H=R<T$.