AMC 10 · 2025 · #12

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid
equilateral-trianglearea-circlessimilar-figuresarea-regular-hexagon identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
세 도형이 각각 서로 맞닿은 크기가 같은 원들을 품고 있다: 정삼각형은 원 3개, 60° 각을 가진 마름모는 원 2개, 정육각형은 원 6개를 담고 있다. 각 도형에서 (원들의 넓이 합) ÷ (도형의 넓이) 비를 만들어 각각 T, R, H라 한다. T, R, H의 크기를 비교하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
T=H=R
(B)
H<R=T
(C)
H=R<T
(D)
H<R<T
(E)
H<T<R

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

세 도형을 한꺼번에 비교하면 벅차므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 도형을 원 하나씩을 품은 정삼각형들로 자른다. 마름모와 육각형에서는 그 원이 삼각형의 내접원이므로, 둘 다 하나의 기본 단위(내접원을 가진 정삼각형 하나)의 복사본으로 줄어든다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 그 기본 비를 한 번만 계산해 R과 H 모두에 재사용한다. 도구 #1(그림 그리기)은 자르는 선과 모서리 기하를 제공한다. 삼각형의 원 세 개는 (내접원이 아니라 각 모서리에 붙어) 다르게 배치되므로 그 비는 따로 구하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 이 비교에 맞는 선택지가 하나뿐임을 확인한다.

1STEP 1

마름모와 육각형을 삼각형으로 자르기

60° 마름모는 정삼각형 2개로, 정육각형은 6개로 갈라지고, 각 원판은 그 삼각형의 내접원이다.

마름모 = 2 △, 육각형 = 6 △, 각 원판 = △의 내접원
2STEP 2

같은 단위이므로 R = H

둘 다 같은 타일(정삼각형+내접원)의 복사본이고, 반복해도 분자·분모가 같이 커지므로 H=R이다.

R=2 A_내접원/2 A_△=A_내접원/A_△, H=6 A_내접원/6 A_△=A_내접원/A_△ → H=R
3STEP 3

기본 단위의 삼각형과 내접원 재기

한 변이 s이면 넓이는 √3/4 s²이고, 중심이 무게중심이라 내접원 반지름은 높이의 1/3인 r=s/2√3이다.

A_△=√3/4s², r=s/2√3
4STEP 4

기본 비 (이것이 H = R)

내접원 넓이 π s²/12를 √3/4 s²로 나누면 s²이 약분되어 H=R은 √3π/9≈0.605로 고정된다.

H=R=(π s²/12)/√3 s²/4=π/3√3=√3 π/9≈0.605
5STEP 5

삼각형 T 안의 원판 반지름 구하기

반지름 ρ인 모서리 원판은 60° 꼭짓점에서 2ρ 떨어지고, 이웃끼리 맞닿으려면 s=2ρ(1+√3)이라 ρ=s/(2(1+√3))이다.

s=2ρ (1+√3) → ρ=s/(2(1+√3))
6STEP 6

삼각형의 비 T 계산하기

원판 세 개 넓이 3πρ²을 √3/4 s²로 나누고 (1+√3)²=4+2√3을 쓰면 T=3π/(6+4√3)≈0.729이다.

T=3πρ²/√3/4s²=3π/(√3 (1+√3)²)=3π/(6+4√3)≈0.729
7STEP 7

비교하고 답 고르기

비교하면 H=R≈0.605, T≈0.729이므로 H=R ＜ T이고, 이렇게 말하는 선택지는 (C)뿐이다.

H=R≈0.605 ＜ T≈0.729 → H=R ＜ T=(C)
정답
H=R ＜ T
그림을 보면 삼각형이 원으로 가장 꽉 차 보이고, 육각형과 마름모는 서로 비슷하게 차 있으면서 조금 더 비어 보인다 — H=R ＜ T와 맞는다. 정확한 값도 이를 확인해 준다: H=R=√3π/9≈0.605이고 T=3π/(6+4√3)≈0.729이며 0.605 ＜ 0.729이다. 도형 안 원들의 넓이 비는 반드시 1보다 작아야 하는데 둘 다 안전하게 그 아래에 있다. H=R이 정확히 같은 것은 반올림의 우연이 아니라, 두 도형이 문자 그대로 같은 (삼각형+내접원) 단위로 채워져 있기 때문이다.
💡핵심 정리

60° 마름모와 정육각형은 둘 다 (원 하나를 품은 정삼각형) 같은 타일로 만들어져 채움 비가 같고, 삼각형은 원 세 개를 더 빽빽이 채우므로 이긴다: H=R ＜ T.

  • 마름모와 육각형을 삼각형으로 자르기
  • 같은 단위이므로 R = H
  • 기본 단위의 삼각형과 내접원 재기
  • 기본 비 (이것이 H = R)
  • 삼각형 T 안의 원판 반지름 구하기
  • 삼각형의 비 T 계산하기
  • 비교하고 답 고르기

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