AMC 10 · 2025 · #13

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

thirty-sixty-ninety-trianglesimilar-trianglescentroid-2-to-1 identify-subproblems ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

30-60-90 직각삼각형에서 직각 꼭짓점에서 빗변으로 높이(수선)를 내린다. 또 가장 짧은 변에 중선을 긋는다. 중선은 그 변의 맞은편 꼭짓점과 그 변의 중점을 잇는 선분이다. 이 중선이 높이와 만나 높이를 짧은 조각

x

와 긴 조각

y

로 나눈다. 비

\frac{x}{x+y}

를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{3}{7}$

(B)

$\dfrac{\sqrt3}{4}$

(C)

$\dfrac{4}{9}$

(D)

$\dfrac{5}{11}$

(E)

$\dfrac{4\sqrt3}{15}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 순전히 위치와 모양에 관한 것이므로, 가장 안전한 방법은 그림을 그려 좌표 격자에 올리는 것이다. 직각을 원점에 두면 두 변이 축을 따라 놓이고, 높이와 중선, 그리고 두 선이 만나는 점까지 모두 방정식으로 쓸 수 있는 직선이 된다. 그러면 문제는 두 직선이 만나는 곳을 찾고, 그 점이 높이를 어떻게 나누는지 읽어내는 일로 바뀐다. 일단 좌표에 올려놓으면 특별한 기교는 필요 없다.

1STEP 1

삼각형의 각 부분에 이름 붙이기

직각을 $B$ , 60도를 $A$ , 30도를 $C$ 라 하자. 짧은 변은 $AB$ 이므로 중선은 $C$ 에서 그 중점으로 간다.

∠ B = 90°, ∠ A = 60°, ∠ C = 30°; shortest side = AB

2STEP 2

30-60-90 변의 길이 구하기

정삼각형의 절반이 30-60-90이라 변의 비는 $1:\sqrt{3}:2$ . 그래서 $AB=2$ , $BC=2\sqrt{3}$ , $AC=4$ 로 잡는다.

1:√3:2 → AB=2, BC=2√3, AC=4 (2²+(2√3)²=4+12=16=4²)

3STEP 3

삼각형을 좌표 격자에 올리기

$B$ 를 원점에 두고 두 변을 축에 올리면 $B=(0,0)$ , $A=(2,0)$ , $C=(0,2\sqrt{3})$ . 이제 직선을 식으로 쓸 수 있다.

B=(0,0), A=(2,0), C=(0,2√3)

4STEP 4

높이의 발 찾기

$AC: y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$ 와 수직인 $BD: y=\frac{x}{\sqrt{3}}$ 을 연립하면 발은 $D=(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ .

AC: y=-√3 x+2√3, BD: y=x/√3 → x/√3=-√3 x+2√3 → x=3/2, D=(3/2,√3/2)

5STEP 5

중선을 직선으로 나타내기

$AB$ 의 중점은 평균인 $E=(1,0)$ 이므로, $C$ 에서 온 중선은 $CE: y=-2\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$ .

E=((2+0)/2,(0+0)/2)=(1,0), CE: y=-2√3 x+2√3

6STEP 6

두 직선을 만나게 해 높이 나누기

두 직선은 가로 위치 $\frac{6}{7}$ 에서 만나고 $D$ 는 $\frac{3}{2}$ 이므로, 빗변 쪽 조각은 높이의 $\frac{3}{7}$ 이다.

x/√3=-2√3 x+2√3→ x=6/7; BF/BD=6/7/3/2=4/7, DF/BD=3/7 → x/(x+y)=3/7

정답

3/7

만나는 점 F = (6/7, 2 루트 3 나누기 7)은 두 직선 위에 모두 있다. 6/7 나누기 루트 3은 2 루트 3 나누기 7과 같고, -2 루트 3 곱하기 6/7 더하기 2 루트 3도 2 루트 3 나누기 7과 같다. F가 직각(B)보다 빗변(D)에 더 가까우므로 조각 DF가 실제로 더 짧고, 이는 x ＜ y와 맞는다. 비 3/7은 1/2보다 조금 작아서, 짧은 조각이 긴 조각보다 조금만 작은 그림과 잘 맞는다. 정답 (A)가 성립한다.

💡핵심 정리

모양 문제가 온통 선이 어디서 만나는지에 관한 것이라면, 좌표 격자에 올려놓고 방정식이 만나는 점을 찾게 하라.

삼각형의 각 부분에 이름 붙이기
30-60-90 변의 길이 구하기
삼각형을 좌표 격자에 올리기
높이의 발 찾기
중선을 직선으로 나타내기
두 직선을 만나게 해 높이 나누기