AMC 10 · 2025 · #13

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

thirty-sixty-ninety-trianglesimilar-trianglescentroid-2-to-1 identify-subproblems ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

$30^\circ{-}60^\circ{-}90^\circ$ 삼각형에서 빗변에 내린 높이가, 가장 짧은 변에 그은 중선에 의해 길이가 $x<y$ 인 두 선분으로 나뉜다. 비 $\tfrac{x}{x+y}$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{3}{7}$

(B)

$\dfrac{\sqrt3}{4}$

(C)

$\dfrac{4}{9}$

(D)

$\dfrac{5}{11}$

(E)

$\dfrac{4\sqrt3}{15}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 30-60-90 직각삼각형에서 직각 꼭짓점으로부터 빗변에 수선(높이)을 내린다. 또한 가장 짧은 변의 중점으로, 그 변의 맞은편 꼭짓점에서 중선을 긋는다. 이 중선이 높이와 만나며 높이를 두 조각으로 나누는데, 짧은 쪽이 x, 긴 쪽이 y이다. x/(x+y)를 구하라.

주어진 것: 삼각형의 세 각은 30도, 60도, 90도이다.; 한 선분은 직각 꼭짓점에서 빗변으로 내린 높이(수선)이다.; 다른 선분은 가장 짧은 변으로 그은 중선으로, 맞은편 꼭짓점에서 그 변의 중점까지 잇는다.; 중선이 높이를 x와 y 두 길이로 나누며 x < y이다.

구하는 것: 높이가 나뉜 두 조각 x, y에 대하여 비 x/(x+y).

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기

이 문제는 순전히 위치와 모양에 관한 것이므로, 가장 안전한 방법은 그림을 그려 좌표 격자에 올리는 것이다. 직각을 원점에 두면 두 변이 축을 따라 놓이고, 높이와 중선, 그리고 두 선이 만나는 점까지 모두 방정식으로 쓸 수 있는 직선이 된다. 그러면 문제는 두 직선이 만나는 곳을 찾고, 그 점이 높이를 어떻게 나누는지 읽어내는 일로 바뀐다. 일단 좌표에 올려놓으면 특별한 기교는 필요 없다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 7.G.A.2 단계 1

삼각형의 각 부분에 이름 붙이기

직각 꼭짓점을 B, 60도 꼭짓점을 A, 30도 꼭짓점을 C라 하자.
가장 짧은 변은 30도 각의 맞은편 변인 AB이다.
따라서 중선은 C에서 AB의 중점으로 가고, 높이는 B에서 빗변 AC로 곧게 내려간다.

$$\angle B = 90^\circ,\ \angle A = 60^\circ,\ \angle C = 30^\circ;\quad \text{shortest side} = AB$$

💡 각 꼭짓점을 자기 각으로 이름 지으면 가장 짧은 변, 높이, 중선이 헷갈리지 않는다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 2

30-60-90 변의 길이 구하기

한 변이 2인 정삼각형을 반으로 자른다.
밑변은 1로 나뉘고, 피타고라스 정리에 의해 높이는 (2의 제곱에서 1의 제곱을 뺀 값)의 제곱근, 즉 루트 3이다.
그래서 30, 60, 90도의 맞은편 변의 비는 1 대 루트 3 대 2이다.
정수로 다루기 위해 두 배 하여 AB = 2, BC = 2 루트 3, 빗변 AC = 4로 잡는다.

$$1:\sqrt3:2 \;\Rightarrow\; AB=2,\ BC=2\sqrt3,\ AC=4 \quad(2^2+(2\sqrt3)^2=4+12=16=4^2)$$

💡 정삼각형의 절반이 바로 30-60-90이라, 피타고라스 정리가 루트 3을 곧장 내준다.

#1 그림 그리기 6.NS.C.6 단계 3

삼각형을 좌표 격자에 올리기

직각 B를 원점에 두고 두 변을 축을 따라 눕힌다.
그러면 B = (0, 0), x축 위의 A = (2, 0), y축 위의 C = (0, 2 루트 3)이 된다.
이제 문제의 모든 점이 좌표를 가지므로 직선을 방정식으로 쓸 수 있다.

$$B=(0,0),\quad A=(2,0),\quad C=(0,2\sqrt3)$$

💡 직각을 원점에 세우면 두 변이 축을 타므로 좌표가 저절로 나온다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.B.6 단계 4

높이의 발 찾기

빗변 AC는 (2, 0)에서 (0, 2 루트 3)까지 이어지므로 기울기는 마이너스 루트 3이고 직선은 y = -루트 3 곱하기 x + 2 루트 3이다.
B에서 내린 높이는 이에 수직이므로 기울기가 1 나누기 루트 3이고 직선은 y = x 나누기 루트 3이다.
두 식을 같다고 놓고 풀면 발 D는 x = 3/2, y = 루트 3 나누기 2, 즉 D = (3/2, 루트 3 나누기 2)이다.

$$AC:\ y=-\sqrt3\,x+2\sqrt3,\quad BD:\ y=\tfrac{x}{\sqrt3}\;\Rightarrow\; \tfrac{x}{\sqrt3}=-\sqrt3\,x+2\sqrt3\;\Rightarrow\; x=\tfrac32,\ D=\left(\tfrac32,\tfrac{\sqrt3}{2}\right)$$

💡 수직인 두 직선의 기울기는 음의 역수라, 빗변 식만 있으면 높이 식은 저절로 써진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.3 단계 5

중선을 직선으로 나타내기

가장 짧은 변 AB의 중점은 A = (2, 0)과 B = (0, 0)의 평균인 E = (1, 0)이다.
중선은 C = (0, 2 루트 3)와 E = (1, 0)을 잇는다.
기울기는 마이너스 2 루트 3이므로 직선은 y = -2 루트 3 곱하기 x + 2 루트 3이다.

$$E=\left(\tfrac{2+0}{2},\tfrac{0+0}{2}\right)=(1,0),\quad CE:\ y=-2\sqrt3\,x+2\sqrt3$$

💡 중점은 두 끝점의 평균일 뿐이라, 중선의 양 끝을 쉽게 읽어낼 수 있다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 6

두 직선을 만나게 해 높이 나누기

중선 CE가 높이 BD와 만나는 곳을 y = x 나누기 루트 3과 y = -2 루트 3 곱하기 x + 2 루트 3을 연립해 푼다.
그러면 x = 6/7이 나오고, 만나는 점 F는 x 방향으로 6/7 지점에 있는데 D는 3/2 지점에 있다.
따라서 F는 B에서 D까지 거리의 4/7 지점에 놓이고, F에서 D까지는 3/7이 남는다.
그래서 빗변 쪽 조각 DF는 BD의 3/7, 다른 조각 BF는 BD의 4/7이다.
더 짧은 조각이 x = DF이므로 x 나누기 (x + y) = (3/7) 나누기 1 = 3/7.
정답은 (A)이다.

$$\tfrac{x}{\sqrt3}=-2\sqrt3\,x+2\sqrt3\Rightarrow x=\tfrac67;\quad \tfrac{BF}{BD}=\tfrac{6/7}{3/2}=\tfrac47,\ \tfrac{DF}{BD}=\tfrac37\;\Rightarrow\;\tfrac{x}{x+y}=\tfrac37$$

💡 두 직선이 만나는 곳은 두 식을 모두 만족하는 한 점이고, 그 점이 높이의 어디에 있는지가 곧 답이다.

[1] #1 7.G.A.2 직각 꼭짓점을 B, 60도 꼭짓점을 A, 30도 꼭짓점을 C라 하자. 가장 짧은 변은 30도 각의 맞은편 변인 AB이다. 따라서 중선은 C에서

[2] #4 8.G.B.7 한 변이 2인 정삼각형을 반으로 자른다. 밑변은 1로 나뉘고, 피타고라스 정리에 의해 높이는 (2의 제곱에서 1의 제곱을 뺀 값)의 제곱근, 즉

[3] #1 6.NS.C.6 직각 B를 원점에 두고 두 변을 축을 따라 눕힌다. 그러면 B = (0, 0), x축 위의 A = (2, 0), y축 위의 C = (0, 2 루

[4] #13 8.EE.B.6 빗변 AC는 (2, 0)에서 (0, 2 루트 3)까지 이어지므로 기울기는 마이너스 루트 3이고 직선은 y = -루트 3 곱하기 x + 2 루트

[5] #7 6.G.A.3 가장 짧은 변 AB의 중점은 A = (2, 0)과 B = (0, 0)의 평균인 E = (1, 0)이다. 중선은 C = (0, 2 루트 3)와 E

[6] #13 8.EE.C.8 중선 CE가 높이 BD와 만나는 곳을 y = x 나누기 루트 3과 y = -2 루트 3 곱하기 x + 2 루트 3을 연립해 푼다. 그러면 x =

검토

합리성 확인: 만나는 점 F = (6/7, 2 루트 3 나누기 7)은 두 직선 위에 모두 있다. 6/7 나누기 루트 3은 2 루트 3 나누기 7과 같고, -2 루트 3 곱하기 6/7 더하기 2 루트 3도 2 루트 3 나누기 7과 같다. F가 직각(B)보다 빗변(D)에 더 가까우므로 조각 DF가 실제로 더 짧고, 이는 x < y와 맞는다. 비 3/7은 1/2보다 조금 작아서, 짧은 조각이 긴 조각보다 조금만 작은 그림과 잘 맞는다. 정답 (A)가 성립한다.

대안 접근: 질량점을 쓴다. 높이의 발이 빗변을 AD = 1, DC = 3으로 나누므로 A에 무게 3, C에 무게 1을 매달면 발의 무게는 4가 된다. 중선이 AB의 중점으로 가므로 B에도 무게 3이 강제된다. 높이 BD에서는 만나는 점이 B의 무게 3과 D의 무게 4를 균형 잡으므로 BD를 DF 대 FB = 3 대 4로 나눈다. 따라서 x/(x+y) = 3/(3+4) = 3/7로, 좌표 없이도 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.A.2 주어진 조건으로 도형 그리기 (30-60-90 삼각형을 그리고 이름 붙이며 높이, 중선, 가장 짧은 변을 표시하기.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 변의 길이 구하기 (정삼각형을 반으로 잘라 높이를 계산해 1 대 루트 3 대 2 변의 비 이끌어내기.)
6.NS.C.6 좌표평면 위의 점 이해하고 나타내기 (직각을 원점에 두고 세 꼭짓점에 좌표 부여하기.)
8.EE.B.6 기울기를 포함한 직선의 식 y = mx + b 세우고 쓰기 (빗변과 그에 수직인 높이를 직선 방정식으로 써서 발 D 구하기.)
6.G.A.3 좌표평면에 다각형 그리고 좌표로 길이 구하기 (가장 짧은 변의 중점을 찾고 두 점을 잇는 선분으로 중선 세우기.)
8.EE.C.8 두 일차방정식의 연립을 교점으로 풀기 (높이와 중선의 식을 연립해 F를 찾고 그 점이 높이를 어떻게 나누는지 읽어내기.)

⭐ 모양 문제가 온통 선이 어디서 만나는지에 관한 것이라면, 좌표 격자에 올려놓고 방정식이 만나는 점을 찾게 하라.