AMC 10 · 2025 · #14

학년 7 probability
유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count
probability-basiccombinations-basicpermutations-basic identify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
키가 모두 다른 9명의 선수가 파랑 3개, 빨강 3개, 초록 3개가 든 주머니에서 손목 밴드를 무작위로 하나씩 뽑아, 세 명씩 세 조로 나뉜다. 각 조에서 키가 가장 큰 사람이 그 조의 주장이 된다. 세 주장이 전체에서 키가 가장 큰 세 선수와 정확히 일치할 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\dfrac{2}{9}$
(B)
$\dfrac{2}{7}$
(C)
$\dfrac{9}{28}$
(D)
$\dfrac{1}{3}$
(E)
$\dfrac{3}{8}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

주장을 직접 쫓으면 복잡하다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 조건을 똑같지만 더 단순한 것으로 바꾼다: 키가 가장 큰 세 명이 주장이 되는 것은 그 세 명 중 어느 둘도 같은 조에 있지 않을 때와 완전히 같다. 사건이 상위 세 명에 관한 것으로 바뀌면, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 나머지 여섯 명은 완전히 버린다 — 그들은 누가 어느 조의 주장이 되는지에 전혀 영향을 주지 않는다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 상위 세 명을 한 번에 한 명씩 다룬다: 가장 큰 사람은 어디로 가든 상관없고, 둘째와 셋째가 각각 새로운 색을 뽑는지 물으면 된다.

1STEP 1

이기는 조건 다시 쓰기

상위 세 명은 서로에게만 밀리므로, 이 셋이 서로 다른 세 조에 흩어질 때만 모두 주장이 된다.

주장 = {상위 3명} ⇔ 상위 3명이 모두 다른 조
2STEP 2

가장 큰 세 명만 추적하기

나머지 여섯 명은 결과를 바꾸지 않으니 무시하고, 큰 세 명이 먼저 뽑는다고 보자. 가장 큰 사람은 어떤 색이든 주장이다.

P(가장 큰 사람이 주장) = 1
3STEP 3

둘째로 큰 사람은 새 색이 필요

가장 큰 사람이 뽑은 뒤 8개가 남고 같은 색은 2개뿐이라, 8개 중 6개가 둘째를 떼어 놓는다.

P(둘째가 다른 색) = 6/8
4STEP 4

셋째로 큰 사람은 마지막 색이 필요

두 색은 이미 쓰였으니 셋째는 남은 한 색을 뽑아야 하고, 남은 7개 중 3개가 그렇다.

P(셋째가 다른 색) = 3/7
5STEP 5

세 확률 곱하기

세 번의 배정이 차례로 일어나므로 각각 성공할 확률을 곱하고 분수를 간단히 한다.

1 × 6/8 × 3/7 = 18/56 = 9/28 → (C)
정답
9/28
한 줄로 세워 세는 방법으로 교차 확인한다: 아홉 명을 한 줄로 세워 앞의 세 자리를 한 색, 다음 세 자리를 다른 색, 마지막 세 자리를 세 번째 색이라 하자. 배열은 9!가지다. 유리한 경우는 키 큰 세 명을 서로 다른 색 구획에 넣는 것이다: 각자 어느 구획을 차지할지 3!가지, 그 구획 안 정확한 자리를 고르는 3×3×3가지, 나머지를 앉히는 6!가지다. 따라서 (3! · 27 · 6!)/9! = (6 · 27)/(9 · 8 · 7) = 162/504 = 9/28로 (C)와 일치한다. 값이 1/3보다 조금 작은데, 이는 키 큰 세 명이 흩어질 가능성이 꽤 있지만 압도적이지는 않다는 뜻으로 자연스럽다.
💡핵심 정리

키 큰 세 명은 서로 다른 색에 흩어질 때만 주장이 되니, 그 셋만 추적해서 각자 새 색을 뽑을 확률을 곱하면 된다.

  • 이기는 조건 다시 쓰기
  • 가장 큰 세 명만 추적하기
  • 둘째로 큰 사람은 새 색이 필요
  • 셋째로 큰 사람은 마지막 색이 필요
  • 세 확률 곱하기

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