AMC 10 · 2025 · #14

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

probability-basiccombinations-basicpermutations-basic identify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

키가 서로 모두 다른 운동선수 $9$ 명이 농구팀에 지원한다. 이들은 파란색 손목밴드 $3$ 개, 빨간색 손목밴드 $3$ 개, 초록색 손목밴드 $3$ 개가 들어 있는 주머니에서 한 명씩 차례로 밴드를 무작위로 뽑으며, 뽑은 밴드는 다시 넣지 않는다. 이렇게 하여 선수들은 파란색 조, 빨간색 조, 초록색 조로 나뉜다. 각 조에서 키가 가장 큰 선수가 그 조의 주장이 된다. 세 조의 주장이 키가 가장 큰 세 선수일 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{2}{9}$

(B)

$\dfrac{2}{7}$

(C)

$\dfrac{9}{28}$

(D)

$\dfrac{1}{3}$

(E)

$\dfrac{3}{8}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 키가 모두 다른 9명의 선수가 파랑 3개, 빨강 3개, 초록 3개가 든 주머니에서 손목 밴드를 무작위로 하나씩 뽑아, 세 명씩 세 조로 나뉜다. 각 조에서 키가 가장 큰 사람이 그 조의 주장이 된다. 세 주장이 전체에서 키가 가장 큰 세 선수와 정확히 일치할 확률을 구하라.

주어진 것: 9명의 선수, 모두 키가 다름; 밴드를 비복원으로 무작위로 뽑음: 파랑 3, 빨강 3, 초록 3으로 세 명씩 세 조 형성; 각 조의 주장은 그 조에서 키가 가장 큰 사람; 선택지: (A) $\dfrac{2}{9}$, (B) $\dfrac{2}{7}$, (C) $\dfrac{9}{28}$, (D) $\dfrac{1}{3}$, (E) $\dfrac{3}{8}$

구하는 것: 세 주장이 바로 키가 가장 큰 세 선수일 확률

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

주장을 직접 쫓으면 복잡하다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 조건을 똑같지만 더 단순한 것으로 바꾼다: 키가 가장 큰 세 명이 주장이 되는 것은 그 세 명 중 어느 둘도 같은 조에 있지 않을 때와 완전히 같다. 사건이 상위 세 명에 관한 것으로 바뀌면, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 나머지 여섯 명은 완전히 버린다 — 그들은 누가 어느 조의 주장이 되는지에 전혀 영향을 주지 않는다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 상위 세 명을 한 번에 한 명씩 다룬다: 가장 큰 사람은 어디로 가든 상관없고, 둘째와 셋째가 각각 새로운 색을 뽑는지 물으면 된다.

실행 — 정답: C

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.8 단계 1

이기는 조건 다시 쓰기

키가 가장 큰 세 선수는 각각 나머지 여섯 명보다 모두 크다.
따라서 이들 중 한 명이 주장이 되지 못하는 유일한 경우는 자기보다 큰 사람과 같은 조에 있을 때인데, 자기보다 큰 사람은 상위 세 명 중 다른 사람뿐이다.
그러므로 주장이 키 큰 세 명이 되는 것은 이 세 명이 서로 다른 색의 세 조에 흩어질 때와 정확히 같다.

$$\text{주장} = \{\text{상위 3명}\} \iff \text{상위 3명이 모두 다른 조}$$

💡 상위 세 명은 오직 서로에게만 밀릴 수 있으니, 결국 이 셋을 떨어뜨려 놓는 것이 문제의 전부다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.7 단계 2

가장 큰 세 명만 추적하기

키가 작은 여섯 명은 어떻게 배치되어도 결과가 바뀌지 않으니 무시한다.
밴드를 무작위로 뽑는 것은 사람에게 색을 무작위로 배정하는 것과 같으므로, 가장 큰 세 명이 먼저 차례로 밴드를 뽑는다고 상상하자.
가장 큰 사람은 어떤 색을 뽑든 상관없다.

$$P(\text{가장 큰 사람이 주장}) = 1$$

💡 오직 상위 세 명만 결과를 정하니, 이 셋만 보고 나머지는 배경으로 흐려 두면 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 3

둘째로 큰 사람은 새 색이 필요

가장 큰 사람이 밴드 하나를 가져간 뒤에는 8개가 남는다: 그 사람 색이 2개, 다른 두 색이 6개다.
둘째로 큰 사람이 다른 조가 되려면, 뽑는 밴드가 그 6개 중 하나여야 한다.

$$P(\text{둘째가 다른 색}) = \dfrac{6}{8}$$

💡 남은 8개 중 6개가 '좋은' 밴드다. 이미 뽑힌 색만 아니면 어떤 색이든 둘을 갈라놓기 때문이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 4

셋째로 큰 사람은 마지막 색이 필요

이제 두 색은 상위 두 명이 이미 썼으므로, 셋째로 큰 사람은 둘 모두를 피하려면 남은 한 색을 뽑아야 한다.
남은 7개 중 그 셋째 색 3개 모두가 '좋은' 밴드다.

$$P(\text{셋째가 다른 색}) = \dfrac{3}{7}$$

💡 두 색이 이미 정해졌으니 손대지 않은 단 하나의 색만 통하고, 남은 7개 중 그런 밴드가 3개다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.4 단계 5

세 확률 곱하기

세 번의 배정이 차례로 일어나므로 각각 성공할 확률을 곱하고 분수를 간단히 한다.

$$1 \times \dfrac{6}{8} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{18}{56} = \dfrac{9}{28} \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 새로 뽑을 때마다 앞선 성공 위에 또 성공해야 하니, 확률을 쌓는다는 것은 곱한다는 뜻이다.

[1] #16 7.SP.C.8 키가 가장 큰 세 선수는 각각 나머지 여섯 명보다 모두 크다. 따라서 이들 중 한 명이 주장이 되지 못하는 유일한 경우는 자기보다 큰 사람과 같

[2] #9 7.SP.C.7 키가 작은 여섯 명은 어떻게 배치되어도 결과가 바뀌지 않으니 무시한다. 밴드를 무작위로 뽑는 것은 사람에게 색을 무작위로 배정하는 것과 같으므로

[3] #7 7.SP.C.7 가장 큰 사람이 밴드 하나를 가져간 뒤에는 8개가 남는다: 그 사람 색이 2개, 다른 두 색이 6개다. 둘째로 큰 사람이 다른 조가 되려면, 뽑

[4] #7 7.SP.C.7 이제 두 색은 상위 두 명이 이미 썼으므로, 셋째로 큰 사람은 둘 모두를 피하려면 남은 한 색을 뽑아야 한다. 남은 7개 중 그 셋째 색 3개

[5] #7 5.NF.B.4 세 번의 배정이 차례로 일어나므로 각각 성공할 확률을 곱하고 분수를 간단히 한다.

검토

합리성 확인: 한 줄로 세워 세는 방법으로 교차 확인한다: 아홉 명을 한 줄로 세워 앞의 세 자리를 한 색, 다음 세 자리를 다른 색, 마지막 세 자리를 세 번째 색이라 하자. 배열은 $9!$가지다. 유리한 경우는 키 큰 세 명을 서로 다른 색 구획에 넣는 것이다: 각자 어느 구획을 차지할지 $3!$가지, 그 구획 안 정확한 자리를 고르는 $3\times3\times3$가지, 나머지를 앉히는 $6!$가지다. 따라서 $\dfrac{3!\cdot 27\cdot 6!}{9!} = \dfrac{6\cdot 27}{9\cdot 8\cdot 7} = \dfrac{162}{504} = \dfrac{9}{28}$로 (C)와 일치한다. 값이 $\tfrac13$보다 조금 작은데, 이는 키 큰 세 명이 흩어질 가능성이 꽤 있지만 압도적이지는 않다는 뜻으로 자연스럽다.

대안 접근: 뽑기 대신 조를 세어 본다. 조를 이름 없이 나누는 방법은 $\dfrac{\binom{9}{3}\binom{6}{3}\binom{3}{3}}{3!}=280$가지다. 키 큰 세 명을 서로 다른 조에 넣는 방법은 정확히 $1$가지이고, 나머지 여섯 명이 세 조를 채우는 방법은 $\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}=90$가지이므로 확률은 $\dfrac{90}{280}=\dfrac{9}{28}$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.8 정리된 목록, 표, 시뮬레이션을 이용해 복합 사건의 확률 구하기 (목표 사건을 '키 큰 세 명이 서로 다른 조에 들어간다'로 다시 진술하고 어떤 결과가 유리한 경우인지 가려내는 데 사용.)
7.SP.C.7 확률 모형을 세우고 이를 이용해 사건의 확률 구하기 (무작위 밴드 뽑기를 상위 세 명의 차례 뽑기로 모형화하고, 한 번 뽑기의 확률 $\tfrac{6}{8}$과 $\tfrac{3}{7}$을 구하는 데 사용.)
5.NF.B.4 곱셈에 대한 이해를 확장하여 분수 곱하기 (세 성공 확률을 곱하고 $1\times\tfrac{6}{8}\times\tfrac{3}{7}=\tfrac{9}{28}$로 간단히 하는 데 사용.)

⭐ 키 큰 세 명은 서로 다른 색에 흩어질 때만 주장이 되니, 그 셋만 추적해서 각자 새 색을 뽑을 확률을 곱하면 된다.