AMC 10 · 2025 · #15

학년 6 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

telescoping-sumpartial-fractionsfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

합
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3 + 6k^2 + 8k}$
은 $\frac{a}{b}$ 꼴로 나타낼 수 있으며, 이때 $a$ 와 $b$ 는 서로소인 양의 정수이다. $a+b$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~89

(B)

~97

(C)

~102

(D)

~107

(E)

~129

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: k = 1부터 무한히 이어지는 모든 자연수 k에 대해 분수 1/(k^3 + 6k^2 + 8k)를 모두 더한다. 그 합은 기약분수 a/b로 나타낼 수 있다. a + b를 구한다.

주어진 것: 합은 k = 1부터 무한대까지의 모든 정수에 대해 더한다; 각 항은 1/(k^3 + 6k^2 + 8k)이다; 합은 서로소인 양의 정수 a, b로 이루어진 a/b로 쓸 수 있다

구하는 것: 무한합을 기약분수 a/b로 나타냈을 때 a + b의 값

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

분모를 인수분해하면 세 인수 k, k+2, k+4가 정확히 2씩 떨어져 있음이 드러난다. 이렇게 일정한 간격의 인수는 망원경 합(telescoping)의 전형적인 신호다. 각 항을 두 덩어리 분수의 차로 바꾸면 여러 항을 더할 때 가운데가 상쇄된다. 그러면 몇 개의 남은 조각만 살아남고, 그것들을 더하면 전체 합이 된다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 1

분모를 인수분해하기

삼차식에서 공통인수 k를 빼내고, 남은 이차식을 인수분해한다.
지저분한 삼차식이 세 일차인수의 깔끔한 곱으로 바뀐다.

$$k^3 + 6k^2 + 8k = k(k^2 + 6k + 8) = k(k+2)(k+4)$$

💡 간단한 인수들의 곱은 삼차식보다 훨씬 다루기 쉽고, 인수들 사이의 간격도 드러난다.

#5 패턴 찾기 5.NF.A.1 단계 2

일정한 간격 알아채기

인수 k, k+2, k+4는 각각 2씩 떨어져 있다.
이웃한 두 덩어리 분수를 빼면 분자가 정확히 (k+4) - k = 4가 되고 분모는 세 인수의 곱이다.
따라서 한 항은 그 차의 4분의 1과 같다.

$$\frac{1}{k(k+2)} - \frac{1}{(k+2)(k+4)} = \frac{(k+4)-k}{k(k+2)(k+4)} = \frac{4}{k(k+2)(k+4)}$$

💡 인수가 일정한 간격이면 이웃한 곱의 차가 분자를 상수로 만들어 주는데, 이것이 바로 망원경 합에 필요한 형태다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 3

덩어리를 f(k)로 이름 붙이기

이 등식을 4로 나눠 합의 각 항을 배율이 붙은 차로 쓴다.
f(k) = 1/(k(k+2))로 두면 각 항은 f(k)에서 f(k+2)를 뺀 것의 4분의 1이 된다.

$$\frac{1}{k(k+2)(k+4)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{k(k+2)} - \frac{1}{(k+2)(k+4)}\right) = \frac{1}{4}\big(f(k) - f(k+2)\big),\quad f(k)=\frac{1}{k(k+2)}$$

💡 반복되는 덩어리에 하나의 이름을 붙이면 상쇄 패턴이 한눈에 보인다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 4

부분합을 망원경처럼 접기

앞에서 N개 항을 더한다.
각 -f(k+2)는 뒤에 오는 +f(k)와 상쇄되어 가운데가 모두 사라지고, 처음 두 f 값과 마지막 두 f 값만 남는다.
N이 커지면 f(k)가 0으로 가므로 마지막 두 항은 0으로 작아진다.

$$\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{4}\big(f(k)-f(k+2)\big) = \frac{1}{4}\big(f(1)+f(2)-f(N+1)-f(N+2)\big)\;\longrightarrow\;\frac{1}{4}\big(f(1)+f(2)\big)$$

💡 망원경 합은 각 고리가 다음 고리를 지우는 사슬이라서 양쪽 끝만 남는다.

#5 패턴 찾기 5.NF.B.4 단계 5

남은 항 더하기

f(1) = 1/(1*3) = 1/3, f(2) = 1/(2*4) = 1/8을 대입한다.
분모가 다른 이 두 분수를 더한 뒤 앞의 1/4을 곱한다.

$$\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 4}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{11}{24}=\frac{11}{96}$$

💡 처음 두 덩어리만 의미가 있으므로 무한합 전체가 짧은 분수 계산 하나로 줄어든다.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.4 단계 6

약분 확인하고 a + b 구하기

11/96이 이미 기약분수인지 확인한다.
11은 소수이고 96을 나누지 못하므로 gcd(11, 96) = 1이다.
따라서 a = 11, b = 96이고 a + b = 107로 보기 (D)와 일치한다.

$$\gcd(11,96)=1,\quad a+b = 11+96 = 107$$

💡 분수가 더 이상 약분되지 않음을 확인하면 a와 b가 문제에서 더하라는 바로 그 수임이 보장된다.

[1] #7 6.EE.A.3 삼차식에서 공통인수 k를 빼내고, 남은 이차식을 인수분해한다. 지저분한 삼차식이 세 일차인수의 깔끔한 곱으로 바뀐다.

[2] #5 5.NF.A.1 인수 k, k+2, k+4는 각각 2씩 떨어져 있다. 이웃한 두 덩어리 분수를 빼면 분자가 정확히 (k+4) - k = 4가 되고 분모는 세 인

[3] #4 6.EE.A.2 이 등식을 4로 나눠 합의 각 항을 배율이 붙은 차로 쓴다. f(k) = 1/(k(k+2))로 두면 각 항은 f(k)에서 f(k+2)를 뺀 것의

[4] #9 4.OA.C.5 앞에서 N개 항을 더한다. 각 -f(k+2)는 뒤에 오는 +f(k)와 상쇄되어 가운데가 모두 사라지고, 처음 두 f 값과 마지막 두 f 값만 남

[5] #5 5.NF.B.4 f(1) = 1/(1*3) = 1/3, f(2) = 1/(2*4) = 1/8을 대입한다. 분모가 다른 이 두 분수를 더한 뒤 앞의 1/4을 곱한

[6] #3 6.NS.B.4 11/96이 이미 기약분수인지 확인한다. 11은 소수이고 96을 나누지 못하므로 gcd(11, 96) = 1이다. 따라서 a = 11, b =

검토

합리성 확인: 몇 개 항으로 합을 어림한다. 1/15 + 1/48 + 1/105 + ... 는 약 0.0667 + 0.0208 + 0.0095 + ... 로 대략 0.1146 근처로 천천히 쌓이는데, 11/96 = 0.11458... 이므로 닫힌 형태의 크기가 맞다. 남은 조각 1/3과 1/8은 정확히 k가 가장 작은 두 덩어리인데, 이는 망원경 합이 예측하는 그대로다.

대안 접근: 항을 완전한 부분분수로 쪼갠다: 1/(k(k+2)(k+4)) = (1/8)/k - (1/4)/(k+2) + (1/8)/(k+4). 상쇄 후 남는 1/k 조각들을 모으면 같은 11/96이 나와 덩어리 방법을 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (삼차식 분모를 k(k+2)(k+4)로 인수분해하기)
5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators (두 덩어리 분수를 빼서 상수 분자 4를 얻기)
6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (반복되는 덩어리 f(k) = 1/(k(k+2))에 이름 붙여 패턴 드러내기)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern that follows a given rule (부분합에서 망원경 상쇄를 따라가기)
5.NF.B.4 Apply and extend previous understandings of multiplication to multiply fractions (1/3 + 1/8을 더하고 1/4을 곱해 11/96 얻기)
6.NS.B.4 Find the greatest common factor of two whole numbers (gcd(11, 96) = 1을 확인해 a = 11, b = 96 정하기)

⭐ 인수가 일정한 간격이면 각 항을 차로 바꿔 가운데를 상쇄시키고, 처음 덩어리만 남긴다. 여기서는 (1/4)(1/3 + 1/8) = 11/96이 된다.