AMC 10 · 2025 · #15

학년 6 algebra

유형 Telescoping Collapse └ 세부 유형 Difference-Split Collapse

telescoping-sumpartial-fractionsfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

분수

\frac{1}{k^3 + 6k^2 + 8k}

를 k = 1부터 시작해 무한히 이어지는 모든 자연수 k에 대해 하나씩 모두 더한다. 그 무한합은 하나의 분수

\frac{a}{b}

와 같고, 이때 a와 b는 공약수가 없는 양의 정수이다. a + b를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

102

(D)

107

(E)

129

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

분모를 인수분해하면 세 인수 k, k+2, k+4가 정확히 2씩 떨어져 있음이 드러난다. 이렇게 일정한 간격의 인수는 망원경 합(telescoping)의 전형적인 신호다. 각 항을 두 덩어리 분수의 차로 바꾸면 여러 항을 더할 때 가운데가 상쇄된다. 그러면 몇 개의 남은 조각만 살아남고, 그것들을 더하면 전체 합이 된다.

1STEP 1

분모를 인수분해하기

삼차식에서 공통인수 k를 빼내고 남은 이차식을 인수분해하면 $k(k+2)(k+4)$ 이다.

k³ + 6k² + 8k = k(k² + 6k + 8) = k(k+2)(k+4)

2STEP 2

일정한 간격 알아채기

인수가 2씩 떨어져 있어 이웃한 두 덩어리 분수를 빼면 분자에 상수 4만 남는다.

1/(k(k+2)) - 1/(k+2)(k+4) = ((k+4)-k)/(k(k+2)(k+4)) = 4/(k(k+2)(k+4))

3STEP 3

덩어리를 f(k)로 이름 붙이기

4로 나누고 덩어리를 $f(k)=\frac{1}{k(k+2)}$ 로 두면 각 항은 $\frac{1}{4}(f(k)-f(k+2))$ 이다.

1/(k(k+2)(k+4)) = 1/4(1/(k(k+2)) - 1/(k+2)(k+4)) = 1/4(f(k) - f(k+2)), f(k)=1/(k(k+2))

4STEP 4

부분합을 망원경처럼 접기

앞의 N개를 더하면 가운데가 상쇄되고 꼬리는 0으로 가서 $\frac{1}{4}(f(1)+f(2))$ 만 남는다.

Σ_k=1^N1/4(f(k)-f(k+2)) = 1/4(f(1)+f(2)-f(N+1)-f(N+2)) ⟶ 1/4(f(1)+f(2))

5STEP 5

남은 항 더하기

$f(1)=\frac{1}{3}$ , $f(2)=\frac{1}{8}$ 이므로 둘의 합의 4분의 1은 $\frac{11}{96}$ 이다.

1/4(1/(1 · 3)+1/(2 · 4))=1/4(1/3+1/8)=1/4·11/24=11/96

6STEP 6

약분 확인하고 a + b 구하기

11은 소수이고 96을 나누지 못하므로 $\frac{11}{96}$ 은 이미 기약분수이고 a + b = 107이다.

gcd(11,96)=1, a+b = 11+96 = 107

정답

107

몇 개 항으로 합을 어림한다. 1/15 + 1/48 + 1/105 + ... 는 약 0.0667 + 0.0208 + 0.0095 + ... 로 대략 0.1146 근처로 천천히 쌓이는데, 11/96 = 0.11458... 이므로 닫힌 형태의 크기가 맞다. 남은 조각 1/3과 1/8은 정확히 k가 가장 작은 두 덩어리인데, 이는 망원경 합이 예측하는 그대로다.

💡핵심 정리

인수가 일정한 간격이면 각 항을 차로 바꿔 가운데를 상쇄시키고, 처음 덩어리만 남긴다. 여기서는 (1/4)(1/3 + 1/8) = 11/96이 된다.

분모를 인수분해하기
일정한 간격 알아채기
덩어리를 f(k)로 이름 붙이기
부분합을 망원경처럼 접기
남은 항 더하기
약분 확인하고 a + b 구하기