AMC 10 · 2025 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

tangent-circlesthirty-sixty-ninety-trianglepythagorean-theorem convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변의 길이가

1

인 정사각형 안에 합동인 반원 네 개가 들어 있다. 각 반원의 지름은 정사각형의 한 변 위에 있고, 각 지름의 한 끝점은 정사각형의 꼭짓점에 놓이며, 이웃한 두 반원은 서로 접한다. 정사각형의 중심을 중심으로 하는 작은 원이 네 반원 모두에 접한다. 이 작은 원의 지름은 정수

a

b

c

d

에 대해

(\sqrt{a}+b)(\sqrt{c}+d)

꼴로 쓸 수 있다.

a+b+c+d

의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 원들이 어디에 놓이는지가 전부이므로, 그림을 좌표평면에 올리고 각 반원의 중심을 표시한다. 중심마다 좌표가 생기면 두 가지 사실이 그림을 방정식으로 바꿔 준다. 서로 접하는 두 원은 중심 사이 거리가 (두 반지름의 합)과 같다. 반원의 반지름을 r라 두고, 접함을 이용해 r를 정한 뒤, 작은 원에도 접함을 한 번 더 쓴다. 접함은 매번 직각삼각형의 거리이므로 피타고라스 정리가 모든 계산을 맡는다.

1STEP 1

그림을 좌표평면에 올리기

정사각형을 좌표에 올리고 반지름을 $r$ 라 하면 네 중심은 $(r,0)$ , $(1,r)$ , $(1-r,1)$ , $(0,1-r)$ 이다.

E=(r,0), F=(1,r), G=(1-r,1), H=(0,1-r)

2STEP 2

이웃 반원은 중심이 2r만큼 떨어져 있다

아래쪽과 오른쪽 반원이 접하므로 중심 사이 거리는 $2r$ 이고, 가로 차이는 $1-r$ , 세로 차이는 $r$ 이다.

√((1-r)²+r²)=2r

3STEP 3

반원의 반지름 구하기

제곱하면 $(1-r)^2+r^2=4r^2$ , 즉 $2r^2+2r-1=0$ 이고 양의 근은 $r=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ 이다.

2r²+2r-1=0 ⟹ r=(√(3)-1)/2

4STEP 4

작은 원도 접한다

작은 원의 중심은 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ , 반지름은 $R$ 이다. 접하므로 $(r+R)^2=(\frac{1}{2}-r)^2+\frac{1}{4}$ 이고, 이 값은 $2-\sqrt{3}$ 이다.

√((1/2-r)²+(1/2)²)=r+R, ((2-√3)/2)²+1/4=(7-4√3)/4+1/4=2-√3

5STEP 5

정리해서 답 읽어내기

$2-\sqrt{3}=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}$ 이므로 $r+R=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ , 지름 $2R=\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}+1$ 은 $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{3}-1)$ 이고 합은 $3$ 이다.

2R=√6-√2-√3+1=(√2-1)(√3-1), a+b+c+d=2-1+3-1=3

정답

수치로 보면 r≈0.366(1/2보다 작아 반원들이 잘 들어간다)이고, 지름 2R=(√2-1)(√3-1)≈0.414×0.732≈0.30으로 반지름 약 0.15의 작은 원이 반원과 겹치지 않고 가운데에 알맞게 놓인다. 모양과 크기 모두 타당하고 a+b+c+d=3은 보기 중 하나여서 (A)와 일치한다.

💡핵심 정리

두 원이 딱 맞닿으면 두 중심을 잇는 직선은 두 반지름을 더한 길이와 같다. 이걸 직각삼각형의 거리로 쓰면 계산이 저절로 풀린다.

그림을 좌표평면에 올리기
이웃 반원은 중심이 2r만큼 떨어져 있다
반원의 반지름 구하기
작은 원도 접한다
정리해서 답 읽어내기

그림을 좌표평면에 올리기

이웃 반원은 중심이 2r만큼 떨어져 있다

반원의 반지름 구하기

작은 원도 접한다

정리해서 답 읽어내기

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