AMC 10 · 2025 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

tangent-circlesthirty-sixty-ninety-trianglepythagorean-theorem convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

그림과 같이, 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 안에 서로 합동인 네 개의 반원이 다음 조건을 만족하도록 내접해 있다. 각 반원의 지름은 정사각형의 변 위에 있고, 각 지름의 한 끝점은 정사각형의 꼭짓점에 놓이며, 이웃한 두 반원은 서로 접한다. 정사각형의 중심을 중심으로 하는 작은 원 하나가 네 반원에 각각 접해 있다.

이 작은 원의 지름은 $(\sqrt a+b)(\sqrt c+d)$ 꼴로 나타낼 수 있으며, 여기서 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 정수이다. $a+b+c+d$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $1$인 정사각형 안에 똑같은 반원 네 개가 들어 있다. 각 반원의 지름은 정사각형의 한 변 위에 놓이고, 지름의 한 끝점은 정사각형의 꼭짓점에 닿으며, 이웃한 반원끼리는 서로 접한다. 정사각형의 중심을 중심으로 하는 작은 원이 네 반원 모두에 접한다. 이 작은 원의 지름은 정수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대해 $(\sqrt{a}+b)(\sqrt{c}+d)$로 쓸 수 있다. $a+b+c+d$를 구하여라.

주어진 것: 정사각형의 한 변의 길이는 $1$이다.; 합동인 반원 네 개의 지름이 정사각형의 변 위에 놓이고, 각 지름의 한 끝점은 꼭짓점에 있다.; 이웃한 반원끼리는 서로 접한다.; 정사각형의 중심을 중심으로 하는 작은 원이 네 반원 모두에 접한다.; 작은 원의 지름은 정수 $a,b,c,d$에 대해 $(\sqrt{a}+b)(\sqrt{c}+d)$이다.

구하는 것: 네 반원의 반지름 $r$.; 작은 원의 지름, 그리고 $a+b+c+d$의 값.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제는 원들이 어디에 놓이는지가 전부이므로, 그림을 좌표평면에 올리고 각 반원의 중심을 표시한다. 중심마다 좌표가 생기면 두 가지 사실이 그림을 방정식으로 바꿔 준다. 서로 접하는 두 원은 중심 사이 거리가 (두 반지름의 합)과 같다. 반원의 반지름을 $r$라 두고, 접함을 이용해 $r$를 정한 뒤, 작은 원에도 접함을 한 번 더 쓴다. 접함은 매번 직각삼각형의 거리이므로 피타고라스 정리가 모든 계산을 맡는다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

그림을 좌표평면에 올리기

정사각형의 꼭짓점을 $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$, $(0,1)$에 놓는다.
반원의 반지름을 $r$라 하자.
아래쪽 반원은 지름이 꼭짓점 $(0,0)$에서 $(2r,0)$까지이므로 중심은 $E=(r,0)$이다.
같은 방식으로 돌면 나머지 세 중심은 $F=(1,r)$, $G=(1-r,1)$, $H=(0,1-r)$이다.

$$E=(r,0),\quad F=(1,r),\quad G=(1-r,1),\quad H=(0,1-r)$$

💡 모든 중심에 $(x,y)$ 주소를 주면 도형 그림이 거리로 잴 수 있는 대상이 된다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.8 단계 2

이웃 반원은 중심이 $2r$만큼 떨어져 있다

아래쪽 반원(중심 $E$)과 오른쪽 반원(중심 $F$)이 접하므로, 두 중심 사이 거리는 두 반지름의 합 $r+r=2r$과 같다.
거리 공식으로 $EF$를 재면 가로 차이는 $1-r$, 세로 차이는 $r$이다.

$$\sqrt{(1-r)^2+r^2}=2r$$

💡 두 원이 맞닿으면 중심을 잇는 선분은 두 반지름을 끝과 끝으로 이어 붙인 길이와 정확히 같다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 3

반원의 반지름 구하기

양변을 제곱하고 전개하면 $(1-r)^2+r^2=4r^2$에서 $1-2r+2r^2=4r^2$, 즉 $2r^2+2r-1=0$이 된다.
이 이차방정식의 양의 근은 $r=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$이다.

$$2r^2+2r-1=0 \;\Longrightarrow\; r=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

💡 접함에서 나온 깔끔한 방정식 하나면 모든 반원의 크기가 정해진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.8 단계 4

작은 원도 접한다

중심 $O=(\tfrac12,\tfrac12)$에 있는 작은 원의 반지름을 $R$라 하자.
이 원이 아래쪽 반원에 접하므로, $O$에서 그 반원의 중심 $E=(r,0)$까지의 거리는 $r+R$과 같다.
이 거리의 제곱 $\left(\tfrac12-r\right)^2+\left(\tfrac12\right)^2$을 $r=\tfrac{\sqrt3-1}{2}$, 즉 $\tfrac12-r=\tfrac{2-\sqrt3}{2}$로 계산하면 $2-\sqrt3$이 된다.

$$\sqrt{\left(\tfrac12-r\right)^2+\left(\tfrac12\right)^2}=r+R,\qquad \left(\tfrac{2-\sqrt3}{2}\right)^2+\tfrac14=\frac{7-4\sqrt3}{4}+\frac14=2-\sqrt3$$

💡 접함은 같은 방법을 다시 쓰는 것뿐이다. 중심 사이 거리는 두 반지름을 더한 값이다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 5

정리해서 답 읽어내기

따라서 $r+R=\sqrt{2-\sqrt3}$이다.
$2-\sqrt3=\dfrac{4-2\sqrt3}{2}=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}$로 다시 쓰면 $\sqrt{2-\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{2}$이다.
지름은 $2R=2(r+R)-2r=(\sqrt6-\sqrt2)-(\sqrt3-1)=\sqrt6-\sqrt2-\sqrt3+1$이다.
묶어서 인수분해하면 $\sqrt2(\sqrt3-1)-1(\sqrt3-1)=(\sqrt2-1)(\sqrt3-1)=(\sqrt2+(-1))(\sqrt3+(-1))$이다.
$(\sqrt a+b)(\sqrt c+d)$와 맞추면 $a=2,\,b=-1,\,c=3,\,d=-1$이므로 $a+b+c+d=2-1+3-1=3$이다.
답은 $(\textbf{A})$이다.

$$2R=\sqrt6-\sqrt2-\sqrt3+1=(\sqrt2-1)(\sqrt3-1),\qquad a+b+c+d=2-1+3-1=3$$

💡 중첩된 근호 $\sqrt{2-\sqrt3}$을 $\tfrac{\sqrt6-\sqrt2}{2}$로 바꾸는 것이 문제가 원하는 깔끔한 곱 형태를 드러내 준다.

[1] #1 6.G.A.3 정사각형의 꼭짓점을 $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$, $(0,1)$에 놓는다. 반원의 반지름을 $r$라 하자. 아래쪽 반원은 지름

[2] #4 8.G.B.8 아래쪽 반원(중심 $E$)과 오른쪽 반원(중심 $F$)이 접하므로, 두 중심 사이 거리는 두 반지름의 합 $r+r=2r$과 같다. 거리 공식으로

[3] #4 8.EE.A.2 양변을 제곱하고 전개하면 $(1-r)^2+r^2=4r^2$에서 $1-2r+2r^2=4r^2$, 즉 $2r^2+2r-1=0$이 된다. 이 이차방정

[4] #7 8.G.B.8 중심 $O=(\tfrac12,\tfrac12)$에 있는 작은 원의 반지름을 $R$라 하자. 이 원이 아래쪽 반원에 접하므로, $O$에서 그 반원

[5] #4 8.EE.A.2 따라서 $r+R=\sqrt{2-\sqrt3}$이다. $2-\sqrt3=\dfrac{4-2\sqrt3}{2}=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}

검토

합리성 확인: 수치로 보면 $r\approx0.366$($\tfrac12$보다 작아 반원들이 잘 들어간다)이고, 지름 $2R=(\sqrt2-1)(\sqrt3-1)\approx0.414\times0.732\approx0.30$으로 반지름 약 $0.15$의 작은 원이 반원과 겹치지 않고 가운데에 알맞게 놓인다. 모양과 크기 모두 타당하고 $a+b+c+d=3$은 보기 중 하나여서 $(\textbf{A})$와 일치한다.

대안 접근: 좌표 없이도 풀 수 있다. 한 꼭짓점에서 가장 가까운 두 반원 중심으로 이어지는 삼각형은 다리가 $r$이고 빗변이 $2r$인 직각삼각형, 즉 $30$-$60$-$90$ 삼각형이므로 $r+\sqrt3\,r=1$에서 똑같이 $r=\tfrac{\sqrt3-1}{2}$을 얻는다. 네 중심은 한 변이 $2r$인 정사각형을 이루고, 그 대각선을 따라 작은 원이 틈을 메우므로 $2r+2R=2r\sqrt2$, 즉 $2R=2r(\sqrt2-1)=(\sqrt3-1)(\sqrt2-1)$로 같은 결과가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 Draw polygons in the coordinate plane given coordinates for the vertices (정사각형과 네 반원의 중심을 좌표평면에 올려 거리를 계산할 수 있게 한 부분.)
8.G.B.8 Apply the Pythagorean theorem to find distance between two points in a coordinate system (각 접함(이웃 반원, 이어서 작은 원)을 중심 사이 거리 방정식으로 바꾼 부분.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions ($r$에 대한 이차방정식을 풀고 중첩 근호 $\sqrt{2-\sqrt3}$을 인수분해된 지름 형태로 정리한 부분.)

⭐ 두 원이 딱 맞닿으면 두 중심을 잇는 직선은 두 반지름을 더한 길이와 같다. 이걸 직각삼각형의 거리로 쓰면 계산이 저절로 풀린다.