AMC 10 · 2025 · #22

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

divisibility-rulesstars-and-barsconditional-probability complementary-counting ↑ 선수 지식: divisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

일곱 자리 양의 정수를 무작위로 하나 고른다. 이 수의 각 자리 숫자의 합이 $61$ 일 때, 이 수가 $11$ 로 나누어떨어질 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3}{14}$

(B)

$\frac{3}{11}$

(C)

$\frac{2}{7}$

(D)

$\frac{4}{11}$

(E)

$\frac{3}{7}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 임의로 고른 일곱 자리 수의 각 자리 숫자 합이 61이다. 이런 수들 가운데 11로 나누어떨어지는 것의 비율은 얼마인가?

주어진 것: 이 수는 정확히 일곱 자리이며 $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7}$로 나타낸다.; 각 자리 숫자의 합은 $a_1+a_2+\cdots+a_7 = 61$이다.; 각 숫자는 $0 \le a_i \le 9$를 만족한다(그리고 $a_1 \ne 0$).

구하는 것: 이런 수가 11로 나누어떨어질 확률, 즉 (11의 배수인 개수) / (숫자 합이 61인 개수).

이해

문제 재정리: 임의로 고른 일곱 자리 수의 각 자리 숫자 합이 61이다. 이런 수들 가운데 11로 나누어떨어지는 것의 비율은 얼마인가?

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기, #14 극단의 원리, #2 빠짐없이 나열하기

숫자 합 61은 최댓값 63보다 겨우 2만큼 작다. 그래서 큰 숫자들을 직접 세는 대신, 각 숫자가 9에서 얼마나 모자란지를 세는 것이 낫다. 여집합 치환 $d_i = 9 - a_i$는 어려운 '합이 61' 세기를 쉬운 '합이 2' 세기로 바꾸며, 이 방법은 11의 배수 경우에서도 다시 통한다. 문제를 분모(합이 61인 모든 수)와 분자(그중 11의 배수)로 나눈다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 1

분자와 분모로 나누기

숫자 합이 61로 고정되어 있으므로 조건을 만족하는 모든 일곱 자리 수는 똑같이 나올 가능성이 있다.
확률은 이 수들 가운데 11의 배수인 개수를, 이 수들의 전체 개수로 나눈 값이다.

P = \dfrac{\#\{\text{숫자 합 }61,\ 11\text{의 배수}\}}{\#\{\text{숫자 합 }61\}}

💡 조건부확률은 조건을 만족하는 전체 경우 중에서 유리한 경우가 차지하는 비율일 뿐이다.

#16 관점 바꾸기 6.EE.B.7 단계 2

숫자를 모자란 양으로 뒤집기

숫자들이 모두 9에 가까우므로 각 숫자가 얼마나 모자란지를 재자.
$d_i = 9 - a_i$로 두면 $a_i = 9 - d_i$이고 $0 \le d_i \le 9$이다.
이를 숫자 합 식에 대입하면 일곱 개의 9가 63을 주고, 모자란 양들이 2를 덜어내야 한다.

$$\sum_{i=1}^{7}(9-d_i)=61 \;\Longrightarrow\; d_1+d_2+\cdots+d_7 = 2$$

💡 9까지의 작은 차이를 세는 것이 큰 숫자 자체를 세는 것보다 훨씬 쉽다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

숫자 합이 61인 수 모두 세기

이제 $d_1+\cdots+d_7 = 2$의 음이 아닌 정수 해를 센다.
합이 겨우 2이므로 $d_i \le 9$ 제한은 전혀 걸리지 않아 별과 막대(중복조합)를 바로 쓸 수 있다.
모든 해에서 숫자가 $\ge 7$이므로 맨 앞자리는 저절로 0이 아니다.

$$\binom{2+7-1}{7-1}=\binom{8}{2}=28$$

💡 같은 단위 2개를 7개의 칸에 나누는 것은 전형적인 별과 막대 세기이다.

#4 변수 도입하기 5.NBT.A.1 단계 4

11로 나누어떨어질 조건 세우기

11의 규칙은 자리를 번갈아 사용한다.
홀수 번째 자리 합에서 짝수 번째 자리 합을 뺀 값이 11의 배수여야 한다.
홀수 자리 합을 $O = a_1+a_3+a_5+a_7$, 짝수 자리 합을 $E = a_2+a_4+a_6$이라 하자.
그러면 $O - E = 11k$이고 동시에 $O + E = 61$이다.

$$O-E = 11k, \qquad O+E = 61$$

💡 자릿값 원리 덕분에 교대 숫자 합이 11의 배수일 때에만 그 수가 11로 나누어떨어진다.

#14 극단의 원리 6.EE.B.5 단계 5

극단의 원리로 k 확정하기

두 식을 더하면 $2O = 61 + 11k$이므로 $61 + 11k$가 짝수여야 하고, 따라서 $k$는 홀수다.
그런데 $E \le 3\times 9 = 27$이고 $O \le 4\times 9 = 36$이다.
$k \le -1$이면 $E \ge 36 > 27$이라 불가능하고, $k \ge 3$이면 $O \ge 47 > 36$이라 불가능하다.
남는 홀수 값은 $k = 1$뿐이다.

$$k=1 \;\Rightarrow\; O = 36,\quad E = 25$$

💡 자리 합이 늘어날 수 있는 한계가 정해져 있어, 경계를 따져 보면 k는 하나만 살아남는다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.8 단계 6

11의 배수 경우 세기

홀수 자리 합 $O = 36$은 네 숫자를 쓰므로 각각 최댓값 9여야 한다.
방법은 단 하나뿐이다.
짝수 자리 합 $E = 25$는 세 숫자를 쓰는데, 같은 모자람 치환 $d_i = 9 - a_i$를 적용하면 $d_2+d_4+d_6 = 27-25 = 2$가 된다.
별과 막대로 이 경우를 센다.

$$\binom{2+3-1}{3-1}=\binom{4}{2}=6$$

💡 홀수 자리 네 숫자를 모두 9로 못박으면, 짝수 세 칸에 퍼뜨릴 것은 고작 2의 차이뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.5 단계 7

확률 만들기

유리한 수는 28개 중 6개이므로 확률은 $6/28$이고, 이는 $3/14$로 약분된다.
이는 보기 (A)와 일치한다.

$$P = \dfrac{6}{28} = \dfrac{3}{14}$$

💡 유리한 경우를 전체 경우로 나눈 분수를 기약분수로 줄이면 답이 보인다.

[1] #7 7.SP.C.8 숫자 합이 61로 고정되어 있으므로 조건을 만족하는 모든 일곱 자리 수는 똑같이 나올 가능성이 있다. 확률은 이 수들 가운데 11의 배수인 개수

[2] #16 6.EE.B.7 숫자들이 모두 9에 가까우므로 각 숫자가 얼마나 모자란지를 재자. $d_i = 9 - a_i$로 두면 $a_i = 9 - d_i$이고 $0 \l

[3] #2 7.SP.C.8 이제 $d_1+\cdots+d_7 = 2$의 음이 아닌 정수 해를 센다. 합이 겨우 2이므로 $d_i \le 9$ 제한은 전혀 걸리지 않아 별과

[4] #4 5.NBT.A.1 11의 규칙은 자리를 번갈아 사용한다. 홀수 번째 자리 합에서 짝수 번째 자리 합을 뺀 값이 11의 배수여야 한다. 홀수 자리 합을 $O = a

[5] #14 6.EE.B.5 두 식을 더하면 $2O = 61 + 11k$이므로 $61 + 11k$가 짝수여야 하고, 따라서 $k$는 홀수다. 그런데 $E \le 3\time

[6] #16 7.SP.C.8 홀수 자리 합 $O = 36$은 네 숫자를 쓰므로 각각 최댓값 9여야 한다. 방법은 단 하나뿐이다. 짝수 자리 합 $E = 25$는 세 숫자를

[7] #7 7.SP.C.5 유리한 수는 28개 중 6개이므로 확률은 $6/28$이고, 이는 $3/14$로 약분된다. 이는 보기 (A)와 일치한다.

검토

합리성 확인: 확률 $3/14 \approx 0.214$는 모든 확률이 그렇듯 0과 1 사이에 있고, $1/4$보다 작다. 이는 최댓값에 가까운 수가 11로 나누어떨어지려면 특별한 교대합 정렬(홀수 자리 네 숫자가 모두 9)이 필요하다는 사실과 잘 맞는다. 두 개수는 숫자 패턴을 나열해 다시 확인할 수 있다. 숫자 합 61은 9가 다섯 개에 8이 두 개($\binom{7}{2}=21$가지)이거나 9가 여섯 개에 7이 하나($7$가지)로, 합쳐 28가지다. 이 중 7 또는 두 8이 짝수 자리에 오는 경우만 성립해 6가지가 된다.

대안 접근: 여집합 치환 대신 숫자 묶음을 직접 나열할 수도 있다. 숫자 합 61이면 {9 다섯 개, 8 두 개} 또는 {9 여섯 개, 7 하나}뿐이다. 앞의 경우는 $\binom{7}{2}=21$가지 배열, 뒤의 경우는 $7$가지로 합 28가지다. 11로 나누어떨어지려면 홀수 자리 합이 36(네 숫자 모두 9)이어야 하므로, 9가 아닌 숫자들은 짝수 세 자리에 놓인다. 하나뿐인 7을 짝수 칸에 놓는 방법 3가지, 두 개의 8을 짝수 칸에 놓는 방법 3가지로 총 $6$가지다. 역시 $6/28 = 3/14$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (전체 28개와 11의 배수 6개를 정리된 경우의 수로 세고 확률을 만드는 데 사용.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q (모자람 치환 후 숫자 합 조건을 $d_1+\cdots+d_7 = 2$ 방정식으로 바꾸는 데 사용.)
5.NBT.A.1 Recognize that a digit in one place represents ten times as much as to its right (자릿값과 교대 숫자 합을 통해 11 나눗셈 규칙을 정당화하는 데 사용.)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values (홀수·짝수 자리 합의 범위를 따져 배수 k가 1뿐임을 보이는 데 사용.)
7.SP.C.5 Understand that the probability of a chance event is between 0 and 1 (최종 비율 $3/14$을 올바른 확률로 해석하고 점검하는 데 사용.)

⭐ 숫자들이 9에 몰려 있을 때는 숫자 자체를 세지 말고 각 숫자가 9에서 얼마나 모자란지를 세라.