AMC 10 · 2025 · #22

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

divisibility-rulesstars-and-barsconditional-probability complementary-counting ↑ 선수 지식: divisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

일곱 자리 양의 정수 중에서 각 자리 숫자의 합이 61인 수 하나를 무작위로 고른다. 이 수가 11로 나누어떨어질 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3}{14}$

(B)

$\frac{3}{11}$

(C)

$\frac{2}{7}$

(D)

$\frac{4}{11}$

(E)

$\frac{3}{7}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

숫자 합 61은 최댓값 63보다 겨우 2만큼 작다. 그래서 큰 숫자들을 직접 세는 대신, 각 숫자가 9에서 얼마나 모자란지를 세는 것이 낫다. 여집합 치환 d_i = 9 - a_i는 어려운 '합이 61' 세기를 쉬운 '합이 2' 세기로 바꾸며, 이 방법은 11의 배수 경우에서도 다시 통한다. 문제를 분모(합이 61인 모든 수)와 분자(그중 11의 배수)로 나눈다.

1STEP 1

분자와 분모로 나누기

숫자 합이 61인 수는 모두 똑같이 나오므로, 확률은 (11의 배수 개수)를 (전체 개수)로 나눈 값이다.

P = (#{숫자 합 61, 11의 배수})/(#{숫자 합 61})

2STEP 2

숫자를 모자란 양으로 뒤집기

숫자가 9에 몰려 있으니 모자란 양 d_i = 9 - a_i를 쓰면, 63에서 d₁+…+d₇ = 2만 덜어내면 된다.

Σ_i=1⁷(9-d_i)=61 ⟹ d₁+d₂+…+d₇ = 2

3STEP 3

숫자 합이 61인 수 모두 세기

d₁+…+d₇ = 2의 해만 세면 되고 제한 9는 걸리지 않으니, 별과 막대로 28가지다.

C(2+7-1, 7-1)=C(8, 2)=28

4STEP 4

11로 나누어떨어질 조건 세우기

11의 규칙은 교대합이다. O = a₁+a₃+a₅+a₇, E = a₂+a₄+a₆로 두면 O - E = 11k, O + E = 61.

O-E = 11k, O+E = 61

5STEP 5

극단의 원리로 k 확정하기

더하면 2O = 61 + 11k라 k는 홀수인데, E ≤ 27, O ≤ 36이므로 k = 1뿐이고, O = 36, E = 25다.

k=1 → O = 36, E = 25

6STEP 6

11의 배수 경우 세기

O = 36이면 홀수 자리는 모두 9, E = 25는 d₂+d₄+d₆ = 2가 되어 6가지다.

C(2+3-1, 3-1)=C(4, 2)=6

7STEP 7

확률 만들기

28개 중 6개만 성립하므로 확률은 $\frac{6}{28}$ , 곧 $\frac{3}{14}$ 이고 보기 (A)다.

P = 6/28 = 3/14

정답

3/14

확률 3/14 ≈ 0.214는 모든 확률이 그렇듯 0과 1 사이에 있고, 1/4보다 작다. 이는 최댓값에 가까운 수가 11로 나누어떨어지려면 특별한 교대합 정렬(홀수 자리 네 숫자가 모두 9)이 필요하다는 사실과 잘 맞는다. 두 개수는 숫자 패턴을 나열해 다시 확인할 수 있다. 숫자 합 61은 9가 다섯 개에 8이 두 개(C(7, 2)=21가지)이거나 9가 여섯 개에 7이 하나(7가지)로, 합쳐 28가지다. 이 중 7 또는 두 8이 짝수 자리에 오는 경우만 성립해 6가지가 된다.

💡핵심 정리

숫자들이 9에 몰려 있을 때는 숫자 자체를 세지 말고 각 숫자가 9에서 얼마나 모자란지를 세라.

분자와 분모로 나누기
숫자를 모자란 양으로 뒤집기
숫자 합이 61인 수 모두 세기
11로 나누어떨어질 조건 세우기
극단의 원리로 k 확정하기
11의 배수 경우 세기
확률 만들기