AMC 10 · 2025 · #5

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

inscribed-anglearc-measureisosceles-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: inscribed-angle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

삼각형 $\triangle ABC$ 에서 $AB = 10$ , $AC = 18$ , $\angle B = 130^\circ$ 이다. 세 점 $A, B, C$ 를 지나는 원의 중심을 $O$ 라 하자. $\angle CAO$ 의 크기는 몇 도인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$20^\circ$

(B)

$30^\circ$

(C)

$40^\circ$

(D)

$50^\circ$

(E)

$60^\circ$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형 $ABC$에서 변 $AB = 10$, 변 $AC = 18$, 그리고 $\angle B = 130^\circ$이다. 점 $O$는 세 점 $A$, $B$, $C$를 지나는 원(외접원)의 중심이다. $\angle CAO$의 크기를 도(°) 단위로 구하여라.

주어진 것: $AB = 10$; $AC = 18$; $\angle B = 130^\circ$; $O$는 $A$, $B$, $C$를 지나는 원의 중심

구하는 것: $\angle CAO$의 크기(도)

이해

주어진 것: $AB = 10$; $AC = 18$; $\angle B = 130^\circ$; $O$는 $A$, $B$, $C$를 지나는 원의 중심

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기

'외심'이라는 말 속에는 길이가 같은 세 반지름 $OA = OB = OC$가 숨어 있다. 원과 그 반지름을 그리면 같은 길이가 눈에 보이고, 쫓아야 할 두 사실이 드러난다. $B$에 있는 $130^\circ$가 중심 $O$의 각을 어떻게 정하는지, 그리고 이등변삼각형 $AOC$가 어떻게 같은 두 밑각으로 나뉘는지이다. 그래서 계획은 이렇다: 그림을 그리고, 중심각을 구하는 작은 문제와 이등변삼각형 문제로 쪼갠 뒤, 모르는 밑각에 변수를 붙여 마무리한다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

원과 반지름 그리기

$A$, $B$, $C$를 지나는 원을 그리고 그 중심 $O$를 표시한다.
세 반지름 $OA$, $OB$, $OC$를 그린다.
$O$가 중심이므로 이 세 선분의 길이는 모두 같다.
$\angle B = \angle ABC$가 원주각임에 주목하자.
꼭짓점이 원 위에 있고, 두 변이 $B$의 반대쪽 호 $AC$를 잘라낸다.

$$OA = OB = OC$$

💡 원과 반지름을 그리면 숨어 있던 같은 길이가 눈에 보이는 선으로 드러난다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.5 단계 2

중심각 AOC 구하기

원주각은 언제나 같은 호 위에 선 중심각의 절반이다.
원주각 $\angle B = 130^\circ$는 호 $AC$($B$에서 먼 쪽 호) 위에 서 있으므로, 같은 호를 덮는 중심각은 $2 \times 130^\circ = 260^\circ$이다.
이 $260^\circ$는 $A$에서 $C$로 크게 돌아가는 쪽이다.
중심 $O$ 둘레의 한 바퀴는 $360^\circ$이므로, 삼각형 $AOC$ 안쪽의 보통 각 $\angle AOC$는 그 나머지이다.

$$\angle AOC = 360^\circ - 2(130^\circ) = 360^\circ - 260^\circ = 100^\circ$$

💡 같은 호도 원 위의 점에서 보는 것보다 중심에서 보면 두 배 넓게 벌어진다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.5 단계 3

이등변삼각형 세우기

삼각형 $AOC$를 보자.
두 변 $OA$와 $OC$는 모두 반지름이라 길이가 같으므로 이 삼각형은 이등변삼각형이다.
이등변삼각형에서는 같은 두 변의 맞은편 각이 서로 같으므로 $\angle CAO = \angle ACO$이다.
이 모르는 두 밑각을 각각 $x$라 하자.
삼각형의 세 각의 합은 $180^\circ$이다.

$$x + x + 100^\circ = 180^\circ$$

💡 같은 변은 항상 같은 각의 맞은편에 있으므로 모르는 두 각은 서로 같아야 한다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.5 단계 4

밑각 구하기

$180^\circ$에서 $100^\circ$를 빼면 같은 두 각이 $80^\circ$를 나눠 갖는다는 것을 알 수 있다.
이를 똑같이 나누면 각각 $40^\circ$이다.
$\angle CAO$가 이 밑각 중 하나이므로 $\angle CAO = 40^\circ$이다.
이는 보기 (C)이다.

$$2x = 80^\circ \;\Rightarrow\; x = 40^\circ,\quad \angle CAO = 40^\circ$$

💡 세 번째 각을 알고 나면 같은 두 각은 $180^\circ$에서 남은 것을 그냥 반으로 나눈다.

[1] #1 4.G.A.1 $A$, $B$, $C$를 지나는 원을 그리고 그 중심 $O$를 표시한다. 세 반지름 $OA$, $OB$, $OC$를 그린다. $O$가 중심이므

[2] #7 7.G.B.5 원주각은 언제나 같은 호 위에 선 중심각의 절반이다. 원주각 $\angle B = 130^\circ$는 호 $AC$($B$에서 먼 쪽 호) 위에

[3] #4 8.G.A.5 삼각형 $AOC$를 보자. 두 변 $OA$와 $OC$는 모두 반지름이라 길이가 같으므로 이 삼각형은 이등변삼각형이다. 이등변삼각형에서는 같은 두

[4] #4 8.G.A.5 $180^\circ$에서 $100^\circ$를 빼면 같은 두 각이 $80^\circ$를 나눠 갖는다는 것을 알 수 있다. 이를 똑같이 나누면

검토

합리성 확인: 삼각형 $AOC$의 각을 다시 더해 보면 $40^\circ + 40^\circ + 100^\circ = 180^\circ$로 맞아떨어진다. 이 결과는 주어진 숫자의 의미도 설명해 준다. 답에는 $\angle B$만 쓰였고 변의 길이 $10$과 $18$은 방해용 정보였는데, 이런 원 문제에서 흔한 일이다. $40^\circ$는 답 (C)이다.

대안 접근: $AO$를 $O$ 너머로 늘려 원과 다시 만나는 점 $D$를 잡으면 $AD$는 지름이 된다. 그러면 $ABCD$는 원에 내접하는 사각형이므로 마주 보는 각의 합이 $180^\circ$이고, $\angle ADC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$이다. $AD$가 지름이므로 반원에 대한 원주각 $\angle ACD = 90^\circ$이다. 삼각형 $ACD$에서 $\angle CAD = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$이고, $O$가 선분 $AD$ 위에 있으므로 $\angle CAD$는 $\angle CAO$와 같다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.1 Draw points, lines, line segments, rays, angles, and identify in figures (외접원과 그 중심, 세 반지름을 그리고 $B$의 원주각을 찾아내는 데 사용.)
7.G.B.5 Use facts about supplementary, complementary, vertical, and adjacent angles ($B$의 원주각을 중심각과 연결하고, $O$ 둘레의 $360^\circ$ 한 바퀴를 이용해 $\angle AOC = 100^\circ$를 얻는 데 사용.)
8.G.A.5 Use informal arguments to establish facts about angle sum and exterior angles (이등변삼각형 $AOC$에 삼각형 내각의 합 $180^\circ$을 적용하고 남은 $80^\circ$를 같은 두 밑각으로 나누는 데 사용.)

⭐ 원의 중심은 호를 가장자리에서 보는 것보다 두 배 넓게 보므로, $B$의 $130^\circ$가 $O$에서 $100^\circ$를 만들고, 반지름이 같은 삼각형에서 나머지를 반으로 나누면 $40^\circ$가 된다.