AMC 10 · 2025 · #5
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
'외심'이라는 말 속에는 길이가 같은 세 반지름 OA = OB = OC가 숨어 있다. 원과 그 반지름을 그리면 같은 길이가 눈에 보이고, 쫓아야 할 두 사실이 드러난다. B에 있는 130°가 중심 O의 각을 어떻게 정하는지, 그리고 이등변삼각형 AOC가 어떻게 같은 두 밑각으로 나뉘는지이다. 그래서 계획은 이렇다: 그림을 그리고, 중심각을 구하는 작은 문제와 이등변삼각형 문제로 쪼갠 뒤, 모르는 밑각에 변수를 붙여 마무리한다.
원과 반지름 그리기
A, B, C를 지나는 원과 중심 O를 그리고 반지름 OA = OB = OC를 긋는다. ∠ B는 호 AC의 원주각이다.
원과 반지름을 그리면 숨어 있던 같은 길이가 눈에 보이는 선으로 드러난다.
4.G.A.1Draw A Diagram중심각 AOC 구하기
원주각 130°의 두 배는 260° 호이므로 안쪽 중심각 ∠ AOC = 360° - 260° = 100°이다.
같은 호도 원 위의 점에서 보는 것보다 중심에서 보면 두 배 넓게 벌어진다.
호는 가장자리의 점에서 볼 때보다 중심에서 볼 때 두 배로 넓어 보인다.
▸ 왜?
각은 원의 정해진 몫을 마주하며, 중심은 그 몫을 곧바로 본다.
▸ 왜?
같은 두 반지름이 이등변삼각형을 만들고, 그 같은 밑각이 바깥의 각을 반으로 나눈다.
이등변삼각형 세우기
삼각형 AOC는 두 변 OA, OC가 반지름이라 이등변이므로 ∠ CAO = ∠ ACO = x, x + x + 100° = 180°이다.
같은 변은 항상 같은 각의 맞은편에 있으므로 모르는 두 각은 서로 같아야 한다.
8.G.A.5Introduce A Variable밑각 구하기
180° - 100° = 80°를 같은 두 밑각이 나눠 가지므로 각각 40°, 답은 (C)이다.
세 번째 각을 알고 나면 같은 두 각은 180°에서 남은 것을 그냥 반으로 나눈다.
8.G.A.5Introduce A Variable원의 중심은 호를 가장자리에서 보는 것보다 두 배 넓게 보므로, B의 130°가 O에서 100°를 만들고, 반지름이 같은 삼각형에서 나머지를 반으로 나누면 40°가 된다.
- 원과 반지름 그리기
- 중심각 AOC 구하기
- 이등변삼각형 세우기
- 밑각 구하기