AMC 10 · 2025 · #6

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometryquadratic-equationsslope-intercept convert-to-algebra ↑ 선수 지식: quadratic-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

직선 $y = \frac{1}{3}x + 1$ 이 $0 \le x \le 2$ , $0 \le y \le 2$ 로 정의되는 정사각형 영역을 위쪽 영역과 아래쪽 영역으로 나눈다. 직선 $x = a$ 는 이 아래쪽 영역을 넓이가 같은 두 영역으로 나눈다. 이때 $a$ 를 $\sqrt{s} - t$ 꼴로 나타낼 수 있으며, 여기서 $s$ 와 $t$ 는 양의 정수이다. $s + t$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~18

(B)

~19

(C)

~20

(D)

~21

(E)

~22

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형 $0 \le x \le 2$, $0 \le y \le 2$ 안에서 직선 $y = \frac{1}{3}x + 1$ 이 아래쪽 영역(직선보다 아래에 있는 부분)을 잘라낸다. 수직선 $x = a$ 가 이 아래쪽 영역을 넓이가 같은 두 조각으로 나눈다. $a = \sqrt{s} - t$ (단, $s$, $t$ 는 양의 정수)로 쓸 때 $s + t$ 를 구하여라.

주어진 것: 정사각형은 $0 \le x \le 2$, $0 \le y \le 2$ 이다; 나누는 직선은 $y = \frac{1}{3}x + 1$ 이다; 수직선 $x = a$ 가 아래쪽 영역을 넓이가 같은 두 조각으로 나눈다; $a = \sqrt{s} - t$ 이고 $s$, $t$ 는 양의 정수이다

구하는 것: $s + t$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

구하려는 $a$ 가 바로 이름을 붙여 추적할 값이다. 계획은 이렇다: 먼저 그림을 그려 아래쪽 영역이 사다리꼴임을 확인하고, 그 전체 넓이를 구한 뒤, 왼쪽 조각($x=0$ 부터 $x=a$ 까지)의 넓이를 $a$ 에 대한 식으로 쓰고, 그것을 전체 넓이의 절반과 같다고 놓아 나오는 방정식을 푼다. $a$ 에 이름을 붙이면 '넓이를 반으로 자른다'는 조건이 풀 수 있는 방정식으로 바뀌고, 답은 문제가 요구하는 $\sqrt{s} - t$ 꼴로 나온다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

영역을 그리고 꼭짓점에 이름 붙이기

직선 $y = \frac{1}{3}x + 1$ 을 정사각형 위에 그린다.
$x = 0$ 에서 높이는 $1$, $x = 2$ 에서는 $\frac{1}{3}(2) + 1 = \frac{5}{3}$ 이다.
두 높이 모두 정사각형 위쪽 변보다 아래에 있으므로, 직선은 $(0,1)$ 에서 $(2, \frac{5}{3})$ 까지 가로질러 지나간다.
아래쪽 영역은 직선 아래, $x$축 위에 놓이며 꼭짓점은 $(0,0)$, $(2,0)$, $(2, \frac{5}{3})$, $(0,1)$ 이다.
왼쪽과 오른쪽 변이 수직이고 서로 평행하므로 이 영역은 사다리꼴이다.

$$\text{꼭짓점: } (0,0),\ (2,0),\ (2,\tfrac{5}{3}),\ (0,1)$$

💡 정사각형 안에 직선을 그리면 아래쪽 영역이 $x$축 위에 선 사다리꼴임이 바로 보인다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

아래쪽 전체 넓이 구하기

사다리꼴의 넓이는 두 평행한 변의 평균에 그 사이 거리를 곱한 것이다.
여기서 두 수직(평행) 변의 길이는 $1$(왼쪽 변, $y=0$ 부터 $y=1$ 까지)과 $\frac{5}{3}$(오른쪽 변, $y=0$ 부터 $y=\frac{5}{3}$ 까지)이고, 두 변은 $2$ 만큼 떨어져 있다.
따라서 아래쪽 영역 전체의 넓이는 $\frac{1}{2}\left(1 + \frac{5}{3}\right)(2) = \frac{8}{3}$ 이다.
그 절반은 $\frac{4}{3}$ 이고, 이것이 왼쪽 조각이 맞춰야 할 목표값이다.

$$A_{\text{전체}} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{5}{3}\right)(2) = \frac{8}{3}, \quad \tfrac{1}{2}A_{\text{전체}} = \frac{4}{3}$$

💡 사다리꼴의 넓이는 평균 높이에 폭을 곱한 것일 뿐이다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 3

왼쪽 조각의 넓이를 a로 나타내기

수직선 $x = a$ 는 왼쪽에 더 작은 사다리꼴을 잘라내며, 그 꼭짓점은 $(0,0)$, $(a,0)$, $(a, \frac{1}{3}a + 1)$, $(0,1)$ 이다.
두 평행한 수직 변의 길이는 $1$($x=0$ 에서)과 $\frac{1}{3}a + 1$($x=a$ 에서)이고, 두 변은 $a$ 만큼 떨어져 있다.
따라서 넓이는 $\frac{1}{2}\left(1 + \left(\frac{1}{3}a + 1\right)\right)a$ 이다.
이것을 목표값 $\frac{4}{3}$ 과 같다고 놓는다.

$$\frac{1}{2}\left(2 + \frac{a}{3}\right)a = \frac{4}{3}$$

💡 같은 사다리꼴 공식을 쓰되 움직이는 변을 $x=a$ 에 두면 넓이가 $a$ 에 대한 식이 된다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 4

깔끔한 방정식으로 바꾸기

왼쪽 변을 전개한다: $\frac{1}{2}\left(2 + \frac{a}{3}\right)a = a + \frac{a^2}{6}$.
그래서 $a + \frac{a^2}{6} = \frac{4}{3}$ 이다.
분수를 없애기 위해 모든 항에 $6$ 을 곱하면 $6a + a^2 = 8$ 이 된다.
모두 한쪽으로 옮겨 $a$ 에 대한 깔끔한 방정식을 얻는다.

$$a + \frac{a^2}{6} = \frac{4}{3} \;\Rightarrow\; a^2 + 6a - 8 = 0$$

💡 분수를 없애면 넓이 조건이 분모 없는 평범한 방정식으로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 5

a를 구하고 답 읽어내기

완전제곱을 만든다.
$a^2 + 6a = 8$ 에서 양변에 $9$ 를 더하면 왼쪽이 완전제곱이 된다: $a^2 + 6a + 9 = 17$, 즉 $(a+3)^2 = 17$.
제곱근을 취하면 $a + 3 = \sqrt{17}$ ($a$ 는 $0$ 과 $2$ 사이여야 하므로 양의 근), 따라서 $a = \sqrt{17} - 3 \approx 1.12$ 이고 실제로 영역 안에 있다.
$a = \sqrt{s} - t$ 와 맞추면 $s = 17$, $t = 3$ 이므로 $s + t = 20$ 이다.
이것이 보기 (C)이다.

$$(a+3)^2 = 17 \;\Rightarrow\; a = \sqrt{17} - 3,\quad s + t = 17 + 3 = 20$$

💡 완전제곱으로 만들면 방정식이 $(a+3)^2 = 17$ 로 포장되어, 제곱근 한 번으로 $a$ 가 풀린다.

[1] #1 6.G.A.3 직선 $y = \frac{1}{3}x + 1$ 을 정사각형 위에 그린다. $x = 0$ 에서 높이는 $1$, $x = 2$ 에서는 $\frac{

[2] #7 6.G.A.1 사다리꼴의 넓이는 두 평행한 변의 평균에 그 사이 거리를 곱한 것이다. 여기서 두 수직(평행) 변의 길이는 $1$(왼쪽 변, $y=0$ 부터 $

[3] #4 6.EE.B.6 수직선 $x = a$ 는 왼쪽에 더 작은 사다리꼴을 잘라내며, 그 꼭짓점은 $(0,0)$, $(a,0)$, $(a, \frac{1}{3}a +

[4] #4 7.EE.B.4 왼쪽 변을 전개한다: $\frac{1}{2}\left(2 + \frac{a}{3}\right)a = a + \frac{a^2}{6}$. 그래서

[5] #4 8.EE.A.2 완전제곱을 만든다. $a^2 + 6a = 8$ 에서 양변에 $9$ 를 더하면 왼쪽이 완전제곱이 된다: $a^2 + 6a + 9 = 17$, 즉

검토

합리성 확인: $a = \sqrt{17} - 3 \approx 1.12$ 가 $0$ 과 $2$ 사이에 있는지 확인한다: 그렇다. 따라서 수직 절단선이 실제로 영역 안에 떨어진다. 또 이 값은 가운데를 살짝 지난 위치인데, 영역이 오른쪽에서 조금 더 높기 때문에 같은 넓이를 담으려면 왼쪽 절반이 조금 더 넓어야 하므로 이치에 맞는다. 다시 대입하면 왼쪽 넓이는 $\frac{1}{2}(2 + \frac{1.12}{3})(1.12) \approx 1.33 = \frac{4}{3}$ 로 $\frac{8}{3}$ 의 정확히 절반이다. $s = 17$, $t = 3$ 이므로 $s + t = 20$, 보기 (C)이다.

대안 접근: 미적분을 쓴다: $x = a$ 까지의 아래쪽 넓이는 $\int_0^a \left(\frac{1}{3}x + 1\right)dx = \frac{1}{6}a^2 + a$ 이다. 이것을 전체의 절반 $\frac{4}{3}$ 과 같다고 놓으면 $\frac{1}{6}a^2 + a = \frac{4}{3}$, 즉 같은 방정식 $a^2 + 6a - 8 = 0$ 이 나오고 같은 답 $a = \sqrt{17} - 3$ 을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 Draw polygons in the coordinate plane given coordinates for the vertices (정사각형 안에 직선을 그리고 아래쪽 영역의 꼭짓점을 찾아 사다리꼴임을 확인하는 데 사용.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (사다리꼴 넓이 공식으로 아래쪽 전체 넓이 $\frac{8}{3}$ 과 그 절반 $\frac{4}{3}$ 을 계산하는 데 사용.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (절단 위치 $a$ 에 이름을 붙이고 왼쪽 조각의 넓이를 $a$ 에 대한 식으로 쓰는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (왼쪽 넓이를 $\frac{4}{3}$ 과 같다고 놓고 분수를 없애 $a^2 + 6a - 8 = 0$ 을 얻는 데 사용.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions (완전제곱 $(a+3)^2 = 17$ 로 만들고 제곱근을 취해 $a = \sqrt{17} - 3$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ '넓이를 반으로 자른다'를 절단 위치 $a$ 에 이름을 붙여 방정식으로 바꾸고, 왼쪽 사다리꼴의 넓이를 써서 전체의 절반과 같다고 놓아 풀면 $a = \sqrt{17} - 3$ 이 나온다.