AMC 10 · 2025 · #6

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
coordinate-geometryquadratic-equationsslope-intercept convert-to-algebra ↑ 선수 지식: quadratic-equations
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
직선 y = (1/3)x + 1 이 정사각형 영역 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 를 위쪽 영역과 아래쪽 영역으로 나눈다. 수직선 x = a 가 아래쪽 영역을 넓이가 같은 두 영역으로 나눈다. 이때 a 를 √(s) - t 꼴로 쓸 수 있고, s 와 t 는 양의 정수이다. s + t 의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
18
(B)
19
(C)
20
(D)
21
(E)
22

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

구하려는 a 가 바로 이름을 붙여 추적할 값이다. 계획은 이렇다: 먼저 그림을 그려 아래쪽 영역이 사다리꼴임을 확인하고, 그 전체 넓이를 구한 뒤, 왼쪽 조각(x=0부터 x=a 까지)의 넓이를 a 에 대한 식으로 쓰고, 그것을 전체 넓이의 절반과 같다고 놓아 나오는 방정식을 푼다. a 에 이름을 붙이면 '넓이를 반으로 자른다'는 조건이 풀 수 있는 방정식으로 바뀌고, 답은 문제가 요구하는 √(s) - t 꼴로 나온다.

1STEP 1

영역을 그리고 꼭짓점에 이름 붙이기

직선이 (0,1) 에서 (2, 5/3)로 가고, 아래 영역은 (0,0), (2,0), (2, 5/3), (0,1) 인 사다리꼴이다.

꼭짓점: (0,0), (2,0), (2,5/3), (0,1)
2STEP 2

아래쪽 전체 넓이 구하기

평행한 두 변 1과 5/3의 평균에 폭 2를 곱하면 전체 8/3, 절반은 4/3 이다.

A_전체 = 1/2(1 + 5/3)(2) = 8/3, 1/2A_전체 = 4/3
3STEP 3

왼쪽 조각의 넓이를 a로 나타내기

왼쪽 조각도 사다리꼴: 높이 1과 (1/3)a + 1, 폭 a 이므로 1/2(2 + a/3)a = 4/3이다.

1/2(2 + a/3)a = 4/3
4STEP 4

깔끔한 방정식으로 바꾸기

전개하면 a + a²/6 = 4/3, 양변에 6을 곱하면 a² + 6a - 8 = 0 이다.

a + a²/6 = 4/3 → a² + 6a - 8 = 0
5STEP 5

a를 구하고 답 읽어내기

완전제곱하면 (a+3)² = 17, 즉 a = √(17) - 3 이므로 s + t = 20, 답은 (C)이다.

(a+3)² = 17 → a = √(17) - 3, s + t = 17 + 3 = 20
정답
20
a = √(17) - 3 ≈ 1.12가 0과 2 사이에 있는지 확인한다: 그렇다. 따라서 수직 절단선이 실제로 영역 안에 떨어진다. 또 이 값은 가운데를 살짝 지난 위치인데, 영역이 오른쪽에서 조금 더 높기 때문에 같은 넓이를 담으려면 왼쪽 절반이 조금 더 넓어야 하므로 이치에 맞는다. 다시 대입하면 왼쪽 넓이는 1/2(2 + 1.12/3)(1.12) ≈ 1.33 = 4/3로 8/3의 정확히 절반이다. s = 17, t = 3 이므로 s + t = 20, 보기 (C)이다.
💡핵심 정리

'넓이를 반으로 자른다'를 절단 위치 a 에 이름을 붙여 방정식으로 바꾸고, 왼쪽 사다리꼴의 넓이를 써서 전체의 절반과 같다고 놓아 풀면 a = √(17) - 3 이 나온다.

  • 영역을 그리고 꼭짓점에 이름 붙이기
  • 아래쪽 전체 넓이 구하기
  • 왼쪽 조각의 넓이를 a로 나타내기
  • 깔끔한 방정식으로 바꾸기
  • a를 구하고 답 읽어내기

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