AMC 10 · 2025 · #9

학년 7 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

symmetry-argumentcaseworkcomplementary-counting bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: systematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

다음 연립부등식을 만족하는 정수의 순서쌍 $(x, y, z)$ 는 모두 몇 개인가?
\begin{align*} -x-y-z&\le -2\ -x+y+z&\le 2\ x-y+z&\le 2\ x+y-z&\le 2 \end{align*}

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다음 네 부등식 $-x-y-z\le -2$, $-x+y+z\le 2$, $x-y+z\le 2$, $x+y-z\le 2$ 를 동시에 만족하는 정수 순서쌍 $(x, y, z)$ 의 개수를 세세요.

주어진 것: 네 부등식으로 이루어진 연립 $-x-y-z\le -2,\ -x+y+z\le 2,\ x-y+z\le 2,\ x+y-z\le 2$; $x, y, z$ 는 정수; 선택지: (A) $4$, (B) $8$, (C) $11$, (D) $15$, (E) $17$

구하는 것: 네 부등식을 모두 만족하는 정수 순서쌍 $(x, y, z)$ 의 개수

이해

문제 재정리: 다음 네 부등식 $-x-y-z\le -2$, $-x+y+z\le 2$, $x-y+z\le 2$, $x+y-z\le 2$ 를 동시에 만족하는 정수 순서쌍 $(x, y, z)$ 의 개수를 세세요.

주어진 것: 네 부등식으로 이루어진 연립 $-x-y-z\le -2,\ -x+y+z\le 2,\ x-y+z\le 2,\ x+y-z\le 2$; $x, y, z$ 는 정수; 선택지: (A) $4$, (B) $8$, (C) $11$, (D) $15$, (E) $17$

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #16 관점 바꾸기

"몇 개인가" 를 묻는 순수 세기 문제이니 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 신호입니다. 하지만 그냥 나열하려면 범위가 무한해 보이므로, 먼저 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 가두기를 합니다 — 부등식들을 조합해 모든 변수가 $0 \le x, y, z \le 2$ 안에 갇힘을 증명하는 것이죠. 그러면 문제는 $3\times 3\times 3$ 상자 안 $27$ 개 후보로 줄어듭니다. 이어서 도구 #2 로 가능한 값 묶음을 나열하고 그 순서를 셉니다. 검토 단계에서는 도구 #16(관점 바꾸기)으로 독립적인 두 번째 계산을 합니다 — 되는 것을 나열하는 대신 규칙을 어기는 몇 개를 버리는 방식입니다.

실행 — 정답: C

#13 대수로 바꾸기 7.NS.A.1 단계 1

첫 부등식 뒤집기

첫 부등식은 모든 변수가 음수라 다루기 불편합니다.
양변에 $-1$ 을 곱하면 부등호가 뒤집힙니다.
이제 연립 전체를 $x+y+z$ 를 한쪽에 둔 형태로 읽을 수 있습니다.

$$-x-y-z \le -2 \;\Longrightarrow\; x+y+z \ge 2$$

💡 부등식에 음수를 곱하면 화살표가 뒤집힌다 — 모든 것의 반대를 저울에 올리면 어느 쪽이 무거운지 바뀌는 것과 같다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 2

각 변수를 0과 2 사이에 가두기

부등식들을 조합해 한 변수, 예를 들어 $x$ 를 묶습니다.
첫 식에서 둘째 식을 빼면 $2x$ 가 아래쪽에서 잡히고, 셋째와 넷째 식을 더하면 $2x$ 가 위쪽에서 잡힙니다.
대칭성으로 $y, z$ 도 같은 방법으로 잡혀, 모든 변수가 $0$ 과 $2$ 사이에 갇힙니다.

$$(x{+}y{+}z)-(-x{+}y{+}z)=2x\ge 0,\quad (x{-}y{+}z)+(x{+}y{-}z)=2x\le 4 \;\Rightarrow\; 0\le x\le 2,\ \text{마찬가지로 } 0\le y,z\le 2$$

💡 참인 두 부등식을 더하거나 빼면 또 참인 부등식이 나오고, 알맞게 짝지으면 두 변수가 지워져 하나만 남아 범위를 잡을 수 있다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

후보를 27개로 줄이기

$x, y, z$ 가 $0 \le x, y, z \le 2$ 인 정수이므로 각 변수는 $0$, $1$, $2$ 중 하나뿐입니다.
각각 $3$ 가지이니 확인할 순서쌍은 많아야 $3 \times 3 \times 3 = 27$ 개 — 실제로 다룰 수 있는 유한한 목록입니다.

$$x, y, z \in \{0, 1, 2\} \;\Rightarrow\; 3\times 3\times 3 = 27 \text{ 개 후보 순서쌍}$$

💡 변수가 짧은 정수 범위에 갇히는 순간, 끝없던 문제가 셀 수 있는 작은 더미로 바뀐다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.5 단계 4

맞는 값 묶음만 남기기

상자 안에서 네 규칙은 $x+y+z \ge 2$ 와 $y+z-x,\ x+z-y,\ x+y-z \le 2$ 각각이 됩니다.
값 묶음을 대입해 확인합니다.
합이 $2$ 미만이면 탈락, 큰 값 둘에 작은 값 하나가 있으면 차가 $3$ 이상이 되어 탈락.
살아남는 (순서 무시) 값 묶음은 딱 다섯 개입니다.

$$\text{유효한 다중집합: } \{0,0,2\},\ \{0,1,1\},\ \{1,1,1\},\ \{1,1,2\},\ \{2,2,2\}$$

💡 후보 확인이란 그 수들을 대입해 "네 부등식이 여전히 모두 참인가?" 를 묻는 것일 뿐이다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 5

모든 순서 세기

문제가 원하는 것은 순서쌍이므로, 각 값 묶음은 그 수들의 서로 다른 배열마다 하나씩 순서쌍을 만듭니다.
$\{1,1,2\}$ 처럼 한 자리가 다른 묶음은 배열이 $3$ 가지($2$ 가 세 자리 중 어디든), $\{1,1,1\}$ 처럼 전부 같은 묶음은 $1$ 가지.
모두 더합니다.

$$\underbrace{3}_{\{0,0,2\}}+\underbrace{3}_{\{0,1,1\}}+\underbrace{1}_{\{1,1,1\}}+\underbrace{3}_{\{1,1,2\}}+\underbrace{1}_{\{2,2,2\}} = 11 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 순서를 따지는 세기에서는 같은 세 수라도 순서가 다르면 새로운 답이므로, 각 묶음의 배열 수를 곱해 더한다.

[1] #13 7.NS.A.1 첫 부등식은 모든 변수가 음수라 다루기 불편합니다. 양변에 $-1$ 을 곱하면 부등호가 뒤집힙니다. 이제 연립 전체를 $x+y+z$ 를 한쪽에

[2] #13 7.EE.B.4 부등식들을 조합해 한 변수, 예를 들어 $x$ 를 묶습니다. 첫 식에서 둘째 식을 빼면 $2x$ 가 아래쪽에서 잡히고, 셋째와 넷째 식을 더하면

[3] #2 7.SP.C.8 $x, y, z$ 가 $0 \le x, y, z \le 2$ 인 정수이므로 각 변수는 $0$, $1$, $2$ 중 하나뿐입니다. 각각 $3$ 가

[4] #2 6.EE.B.5 상자 안에서 네 규칙은 $x+y+z \ge 2$ 와 $y+z-x,\ x+z-y,\ x+y-z \le 2$ 각각이 됩니다. 값 묶음을 대입해 확인

[5] #2 7.SP.C.8 문제가 원하는 것은 순서쌍이므로, 각 값 묶음은 그 수들의 서로 다른 배열마다 하나씩 순서쌍을 만듭니다. $\{1,1,2\}$ 처럼 한 자리가

검토

합리성 확인: 여집합으로 독립 재계산(도구 #16): 상자 안 전체 후보 $27$ 개에서 시작합니다. $x+y+z < 2$ 인 것 제거 — $(0,0,0)$ 과 $(1,0,0)$ 의 세 순서, 즉 $4$ 개. 차가 $2$ 를 넘는 것 제거 — 규칙 $y+z-x\le 2$ 를 어기는 것은 $(0,1,2),(0,2,1),(0,2,2),(1,2,2)$ 의 $4$ 개, 대칭으로 나머지 두 차-규칙도 각각 $4$ 개씩 없애며, 이 $12$ 개는 서로도 앞의 무리와도 겹치지 않습니다. 따라서 유효 개수 $= 27 - 4 - 12 = 11$. 두 방법 모두 $11$ 로, (C) 와 일치합니다.

대안 접근: 위의 여집합 계산이 바로 깔끔한 대안입니다: 살아남는 것을 나열하는 대신 실패하는 것을 뺍니다. 값 묶음으로 분류하지 않고, $27$ 개 상자에서 합이 작은 $4$ 개와 차가 큰 $12$ 개를 덜어내 $27-4-12=11$ 을 곧바로 얻습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.NS.A.1 덧셈과 뺄셈의 이해를 유리수로 확장하기 (첫 부등식에 $-1$ 을 곱하고 부등호를 뒤집어 $-x-y-z\le-2$ 를 $x+y+z\ge 2$ 로 바꾸는 데 사용.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 방정식과 부등식을 세우기 (주어진 부등식들을 더하고 빼서 각 변수를 $0\le x,y,z\le 2$ 로 가두는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식이나 부등식을 푸는 것을 값을 찾는 과정으로 이해하기 (후보 값 묶음을 대입해 네 부등식을 모두 만족하는지 확인하는 데 사용.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·모의실험으로 복합 사건의 확률 구하기 (27개 후보 표본공간을 나열하고 각 유효 값 묶음의 순서 배열을 세어 합계 11을 얻는 데 사용.)

⭐ 먼저 각 변수를 $0, 1, 2$ 안에 가두면, 끝없어 보이던 문제가 확인하고 셀 수 있는 작은 $27$ 개 목록이 된다.