AMC 10 · 2025 · #9

학년 7 counting
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
symmetry-argumentcaseworkcomplementary-counting bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: systematic-enumeration
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
다음 네 부등식 -x-y-z ≤ -2, -x+y+z ≤ 2, x-y+z ≤ 2, x+y-z ≤ 2 를 동시에 만족하는 정수 순서쌍 (x, y, z)의 개수를 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
4
(B)
8
(C)
11
(D)
15
(E)
17

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

"몇 개인가" 를 묻는 순수 세기 문제이니 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 신호입니다. 하지만 그냥 나열하려면 범위가 무한해 보이므로, 먼저 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 가두기를 합니다 — 부등식들을 조합해 모든 변수가 0 ≤ x, y, z ≤ 2 안에 갇힘을 증명하는 것이죠. 그러면 문제는 3 × 3 × 3 상자 안 27 개 후보로 줄어듭니다. 이어서 도구 #2로 가능한 값 묶음을 나열하고 그 순서를 셉니다. 검토 단계에서는 도구 #16(관점 바꾸기)으로 독립적인 두 번째 계산을 합니다 — 되는 것을 나열하는 대신 규칙을 어기는 몇 개를 버리는 방식입니다.

1STEP 1

첫 부등식 뒤집기

첫 부등식 양변에 -1을 곱하면 부등호가 뒤집혀 x+y+z ≥ 2 가 된다.

-x-y-z ≤ -2 ⟹ x+y+z ≥ 2
2STEP 2

각 변수를 0과 2 사이에 가두기

첫 식에서 둘째 식을 빼면 2x ≥ 0, 셋째와 넷째를 더하면 2x ≤ 4 — 대칭으로 0 ≤ x, y, z ≤ 2.

(x+y+z)-(-x+y+z)=2x ≥ 0, (x-y+z)+(x+y-z)=2x ≤ 4 → 0 ≤ x ≤ 2, 마찬가지로 0 ≤ y,z ≤ 2
3STEP 3

후보를 27개로 줄이기

0과 2 사이 정수이니 각 변수는 0, 1, 2 뿐 — 확인할 순서쌍은 27 개.

x, y, z ∈ {0, 1, 2} → 3 × 3 × 3 = 27 개 후보 순서쌍
4STEP 4

맞는 값 묶음만 남기기

대입해 보면 합이 2 미만이거나 큰 값 둘에 작은 값 하나면 탈락 — 다섯 개 묶음만 남는다.

유효한 다중집합: {0,0,2}, {0,1,1}, {1,1,1}, {1,1,2}, {2,2,2}
5STEP 5

모든 순서 세기

순서가 다르면 다른 해이므로 각 묶음의 배열 수를 더한다: 3+3+1+3+1 = 11.

3_{{0,0,2}}+3_{{0,1,1}}+1_{{1,1,1}}+3_{{1,1,2}}+1_{{2,2,2}} = 11 → (C)
정답
11
여집합으로 독립 재계산(도구 #16): 상자 안 전체 후보 27 개에서 시작합니다. x+y+z ＜ 2 인 것 제거 — (0,0,0)과 (1,0,0)의 세 순서, 즉 4 개. 차가 2를 넘는 것 제거 — 규칙 y+z-x ≤ 2를 어기는 것은 (0,1,2),(0,2,1),(0,2,2),(1,2,2)의 4 개, 대칭으로 나머지 두 차-규칙도 각각 4 개씩 없애며, 이 12 개는 서로도 앞의 무리와도 겹치지 않습니다. 따라서 유효 개수 = 27 - 4 - 12 = 11. 두 방법 모두 11로, (C)와 일치합니다.
💡핵심 정리

먼저 각 변수를 0, 1, 2 안에 가두면, 끝없어 보이던 문제가 확인하고 셀 수 있는 작은 27 개 목록이 된다.

  • 첫 부등식 뒤집기
  • 각 변수를 0과 2 사이에 가두기
  • 후보를 27개로 줄이기
  • 맞는 값 묶음만 남기기
  • 모든 순서 세기

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