AMC 10 · 2002 · #23
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
넓이를 구하려면 밑변과 높이가 있어야 하는데 문제는 둘 다 주지 않는다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 정직하게 둘로 나눈다. 먼저 빠진 변 AB를 확정하고, 그다음 높이를 구한다. 첫 번째 일은 도구 #1(그림 그리기)에서 시작한다. 두 조건은 사실 모양을 바꾼 각 정보이기 때문이다. 수직이등분선은 두 길이가 같다고 말하고, 이등변삼각형은 두 각이 같다고 말한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 나머지 각들이 전부 그 복사본으로 드러나는 하나의 각에 이름을 붙인다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 결정적이다. 삼각형 ABD 안에서만 뒤지지 말고 그 옆의 큰 삼각형 ACB를 보면, 두 삼각형이 닮음이 될 만큼 각을 공유하고 있음이 보인다.
수직이등분선 읽어내기
D가 BC의 수직이등분선 위에 있으므로 DB = DC = 7, 삼각형 DBC는 이등변이다.
수직이등분선은 양 끝점 사이에서 균형을 이루는 점들의 모임이므로, 그 위에 올라서는 순간 이등변삼각형이 공짜로 생긴다.
10.G-CO.C.9Draw A Diagram각 하나에 이름 붙이고 퍼뜨리기
θ = ∠ ACB라 하고 이등분 조건을 쓰면 ∠ ABD = ∠ DBC = ∠ ACB = θ.
두 조건이 각각 같은 각 한 쌍씩을 만들어 내고, 그것들이 사슬처럼 이어져 문자 하나로 전부 덮인다.
10.G-CO.A.1Introduce A Variable닮은 삼각형 찾아내기
A에서 각을 공유하고 그 등식이 더해져 삼각형 ABD와 ACB가 닮음이다.
큰 삼각형 안에 들어앉아 큰 삼각형의 각을 그대로 되풀이하는 작은 삼각형은, 같은 모서리에서 본 축소판일 뿐이다.
작은 삼각형은 큰 삼각형의 각을 그대로 되풀이하므로, 같은 꼭짓점에서 본 축소판이다.
▸ 왜?
각이 같은 삼각형은 크기만 다른 한 모양이므로, 대응하는 변끼리 하나의 일정한 비를 가진다.
▸ 왜?
같은 각은 수직이등분선이 내어 준 같은 두 변에서 거저 얻어졌다.
닮음을 AB로 바꾸기
닮음에서 AB² = AD · AC = 9 · 16이므로 AB = 12.
AB가 닮음비의 양쪽에 모두 나타나므로, 자기가 끼어 있는 두 길이의 기하평균으로 튀어나온다.
10.G-SRT.B.5Introduce A VariableAC에 내린 높이 구하기
변 12, 9, 7을 알므로 B에서 수선을 내리면 높이는 h = 28√(5)/9이다.
수선 하나가 삼각형을 높이를 공유하는 두 직각삼각형으로 가르므로, 두 피타고라스 식을 빼면 높이가 지워지고 수선의 발이 풀린다.
8.G.B.7Identify Subproblems넓이 계산하기
따라서 넓이는 1/2 · 9 · h = 14√(5), 보기 (D).
높이에 붙어 있던 성가신 9분의 몫이 밑변 9와 약분되어 깔끔한 답만 남는다.
6.G.A.1Identify Subproblems수직이등분선과 각의 이등분선은 각각 같은 각 한 쌍씩을 건네준다 — 그 각을 쫓아가 작은 삼각형이 큰 삼각형을 베낀 것을 찾으면 빠진 변이 저절로 나온다.
- 수직이등분선 읽어내기
- 각 하나에 이름 붙이고 퍼뜨리기
- 닮은 삼각형 찾아내기
- 닮음을 AB로 바꾸기
- AC에 내린 높이 구하기
- 넓이 계산하기
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같은 archetype · 비슷한 학년부터.
