AMC 10 · 2003 · #22
학년 10 geometry-2d
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PQ를 그대로 쫓아가면 움직이는 수선의 발 두 개를 동시에 추적해야 해서 지저분하다. 문제를 무너뜨리는 한 수는 PQ 대신 그것과 길이가 같은 다른 것을 보는 것이다(도구 #16). 두 대각선이 수직이므로 O, P, N, Q가 직사각형을 이루고, PQ는 그 직사각형의 대각선이므로 PQ = ON이다. 중심을 원점에 두고 두 대각선을 좌표축으로 삼으면 이 사실이 한 줄에 드러난다(도구 #1, #4). 그러면 ON을 최소화하는 일은 점에서 직선까지의 최단거리를 묻는 익숙한 문제가 되고, 답은 O에서 AB에 내린 수선이다(도구 #14). 그 수선의 길이는 삼각형 AOB의 넓이를 두 가지 방법으로 세면 가장 빨리 나온다(도구 #15). 마지막은 다섯 선택지와 크기를 비교하는 계산이다(도구 #3). 문제가 묻는 것은 가장 가까운 수뿐이기 때문이다.
중심을 원점에 두기
대각선이 직각으로 서로를 이등분하므로 중심을 원점에 두면 반은 8과 15이다.
마름모는 똑같은 직각삼각형 네 개로 이루어져 있으므로, 대각선을 축에 올려놓으면 쓸모 있는 직각들이 모두 읽기 좋은 자리에 놓인다.
10.G-CO.C.11Draw A Diagram변의 길이 구하기
변은 8-15 직각삼각형의 빗변이므로 17이다.
각 대각선의 절반이 두 변이 되므로, 마름모의 한 변은 그 둘이 정하는 빗변일 뿐이다.
8.G.B.7Introduce A VariablePQ는 ON과 같다
중심과 두 발이 직사각형을 이루므로 그 선분은 항상 중심까지의 거리와 같다.
두 수선의 발은 N이 두 축에 드리운 그림자일 뿐이고, 두 그림자 사이의 거리는 N에서 모서리까지의 거리와 같다.
10.G-CO.C.9Change Focus Count The ComplementO에서 변 AB까지의 거리 최소화하기
따라서 변까지의 거리를 최소화하면 되고, 수선의 발은 실제로 선분 안에 놓인다.
직선까지 가는 가장 짧은 길은 수선이고, 여기서는 그 발이 변의 바깥이 아니라 안쪽에 떨어지므로 막힐 일이 없다.
10.G-SRT.B.5Extreme Principle넓이를 두 번 세서 높이 구하기
삼각형의 넓이를 두 방식으로 세면 높이는 120/17이다.
삼각형 하나의 넓이는 하나뿐이므로, 다른 밑변과 그에 맞는 높이를 짝지으면 원하는 높이에 대한 식이 공짜로 생긴다.
한 삼각형의 넓이는 하나이므로, 다른 밑변을 그에 맞는 높이와 짝지으면 그 높이에 대한 식이 거저 나온다.
▸ 왜?
삼각형은 어느 변을 밑변으로 삼든 밑변 곱하기 높이의 절반을 덮는다.
▸ 왜?
똑같은 넓이에 대한 두 설명은 일치해야 하므로, 둘을 같다고 놓으면 참인 등식이 된다.
다섯 선택지와 비교하기
이는 약 7.06으로 7에 가장 가깝다, 보기 (C).
'가장 가깝다'는 반올림 습관이 아니라 거리 비교로 정해지므로, 차이를 모두 계산하고 가장 작은 것을 고른다.
6.NS.C.7Eliminate Possibilities두 수선이 한 점을 직사각형 안에 가두면, 두 수선의 발을 잇는 선분은 그 점에서 모서리까지의 선분과 길이가 같다. 그래서 다루기 어려운 움직이는 거리가 쉬운 거리로 바뀐다.
- 중심을 원점에 두기
- 변의 길이 구하기
- PQ는 ON과 같다
- O에서 변 AB까지의 거리 최소화하기
- 넓이를 두 번 세서 높이 구하기
- 다섯 선택지와 비교하기
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