AMC 10 · 2002 · #7

학년 7 geometry-2d

arc-measureratio-proportionarea-circles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: arc-measureratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

원 A에서 잘라낸 45° 호의 길이가 원 B에서 잘라낸 30° 호의 길이와 같다. 이 사실만으로 원 A의 넓이와 원 B의 넓이의 비를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

4/9

(B)

2/3

(C)

5/6

(D)

3/2

(E)

9/4

풀이 과정

전략 변수 도입하기

길이가 하나도 주어지지 않았으니, 없는 것에 이름을 붙인다. 두 반지름을 r_A, r_B라 하자(도구 #4). 각 호를 반지름으로 나타내고 나면 '길이가 같다'는 사실이 r_A와 r_B를 잇는 한 개의 방정식이 된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 깔끔한 두 단계로 나눈다. 먼저 반지름의 비를 구하고, 그 다음 그것을 넓이의 비로 바꾼다. 넓이는 반지름의 제곱에 달려 있으므로 이 둘은 정말로 다른 질문이다. 도구 #3(가능성 지우기)이 마무리를 지켜 준다. 각이 더 큰 호가 더 작은 원에 속하므로 원 A가 더 작고, 넓이의 비는 1보다 작아야 한다. 이것만으로 (D) 3/2와 (E) 9/4는 지워진다.

1STEP 1

각 호의 길이 나타내기

호는 각이 차지하는 2πr의 몫이다: A는 둘레의 1/8, B는 1/12.

arc_A=45/360 · 2π r_A=(π r_A)/4, arc_B=30/360 · 2π r_B=(π r_B)/6

2STEP 2

두 호를 같게 놓고 반지름의 비 구하기

두 호를 같게 놓으면 π가 지워져 6r_A = 4r_B, 따라서 r_A/r_B = 2/3.

(π r_A)/4=(π r_B)/6 → 6r_A=4r_B → r_A/r_B=2/3

3STEP 3

비를 제곱해 넓이 비교하기

넓이는 반지름의 제곱으로 변하므로 비는 (2/3)² = 4/9, 보기 (A).

area_A/area_B=(π r_A²)/(π r_B²)=(r_A/r_B)²=(2/3)²=4/9 → (A)

정답

4/9

방향과 크기를 확인한다. 45° 호는 30° 호보다 각이 크지만 두 길이가 같으므로, 원 A가 더 작아야 넓은 조각이 같은 길이로 나온다. 실제로 r_A/r_B=2/3 ＜ 1이고 넓이의 비 4/9 ＜ 1로, 둘 다 A가 더 작다고 말하니 일관적이다. 크기도 타당하다. 2/3을 제곱하면 0.67에서 약 0.44로 줄고, 4/9≈ 0.44는 1 근처가 아니라 작은 오답들 사이에 놓인다. 함정 답 2/3은 제곱하지 않은 반지름의 비 그대로이고, 9/4는 분수를 거꾸로 뒤집은 것이다. 작은 원 대 큰 원의 넓이 비는 반드시 1보다 작아야 한다.

💡핵심 정리

호가 같으면 반지름의 비를 구할 수 있고, 그 비를 제곱하면 넓이의 비가 된다. 원의 넓이는 반지름의 제곱에 따라 커지기 때문이다.

각 호의 길이 나타내기
두 호를 같게 놓고 반지름의 비 구하기
비를 제곱해 넓이 비교하기

각 호의 길이 나타내기

두 호를 같게 놓고 반지름의 비 구하기

비를 제곱해 넓이 비교하기

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