AMC 10 · 2004 · #18
학년 8 geometry-2d
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정사각형을 좌표평면에 올려 놓으면 반원의 중심과 반지름이 정확한 수가 됩니다. 중심은 양쪽 세로 변에서 각각 1만큼 떨어져 있고, 이것이 바로 반지름이므로 변 BC와 변 AD는 이미 원에 닿아 있습니다. 그러면 CE는 이 그림에서 세 번째 접선이 되고, 두 접선 규칙(한 외부 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다)을 쓰면 CE를 이미 아는 길이를 복사한 두 조각으로 나눌 수 있습니다. 자유로운 길이 AE에 이름을 붙이면 정사각형 왼쪽의 직각삼각형이 하나의 방정식으로 바뀝니다.
정사각형을 좌표평면에 놓기
좌표에서 반원의 중심은 밑변의 중점이고 반지름은 1이다.
꼭짓점을 좌표로 고정하면 그림 속 모든 거리가 계산으로 바뀝니다.
6.G.A.3Draw A Diagram두 변이 이미 원에 닿아 있음을 알아채기
정사각형의 두 변이 정확히 반지름만큼 떨어져 있어 둘 다 접선이다.
중심에서 반지름만큼 떨어진 직선은 원을 딱 한 점에서 스치므로 접선입니다.
7.G.B.4Draw A DiagramC와 E에서 두 접선 규칙 쓰기
각 외부 점에서 접선이 같아 CF = 2, EF = EA이다.
한 점에서 나간 두 접선은 원까지 똑같은 거리로 닿습니다. 같은 손에서 팽팽하게 당긴 두 개의 같은 줄처럼요.
한 점에서 그은 두 접선은 원에 같은 거리로 닿는데, 한 손에서 팽팽히 당긴 두 줄과 같다.
▸ 왜?
접선은 접점에서 반지름과 직각으로 만나므로, 각 접선 길이는 직각삼각형의 한 변이다.
▸ 왜?
두 직각삼각형은 같은 빗변과 같은 반지름을 공유하므로, 남은 변이 같을 수밖에 없다.
CE를 2 더하기 AE로 쓰기
따라서 전체 선분은 2 더하기 AE다.
수수께끼 같은 선분을 접점에서 자르면 각 조각이 이미 아는 길이를 복사합니다.
6.EE.B.6Introduce A Variable피타고라스 정리로 CE의 두 번째 식 구하기
먼 꼭짓점의 직각삼각형이 같은 선분에 대한 두 번째 식을 준다.
같은 선분 CE가 이제 두 가지 설명을 가지므로, 둘을 일치시키면 e가 정해집니다.
8.G.B.7Identify SubproblemsAE를 구한 뒤 CE 읽어내기
둘을 같게 놓으면 AE는 2분의 1이고 선분은 5/2, 보기 (D).
CE의 두 얼굴을 모두 적어 놓으면 미지수 하나짜리 방정식이 곧바로 떨어져 나옵니다.
8.EE.C.7Introduce A Variable직선이 원을 살짝 스칠 때는 접점에서 잘라 같은 접선 길이를 복사하고, 그 다음 피타고라스 정리로 마무리하세요.
- 정사각형을 좌표평면에 놓기
- 두 변이 이미 원에 닿아 있음을 알아채기
- C와 E에서 두 접선 규칙 쓰기
- CE를 2 더하기 AE로 쓰기
- 피타고라스 정리로 CE의 두 번째 식 구하기
- AE를 구한 뒤 CE 읽어내기
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