AMC 10 · 2002 · #22

학년 11 algebra

유형 Telescoping Collapse └ 세부 유형 Shifted Series Difference

logarithm-propertiesexponentsprime-factorization identify-subproblems ↑ 선수 지식: logarithm-properties

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

1보다 큰 모든 정수 n에 대해 한 개의 수를 만드는 규칙이 있다: log_n 2002을 뒤집어 a_n = 1/(log_n 2002)로 둔다. 이 중 네 개를 더해 b = a₂ + a₃ + a₄ + a₅를 만들고, 다섯 개를 더해 c = a₁₀ + a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ + a₁₄를 만든다. b - c의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-2

(B)

-1

(C)

$\frac{1}{2002}$

(D)

$\frac{1}{1001}$

(E)

$\frac 12$

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

공통점이라고는 없는 아홉 개의 서로 다른 로그 밑은 손댈 수 없어 보인다. 그래서 핵심 수는 도구 #15 (다르게 정리하기)이다: 모든 항을 하나의 고정된 밑으로 다시 쓴다. 역수 1/(log_n 2002)은 정확히 log₂₀₀₂ n이고, 아홉 항이 모두 밑 2002을 공유하는 순간 합이 하나의 로그로 뭉쳐진다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 이 뒤집기를 인용하지 않고 직접 증명한다: 지수에 이름을 붙이고 식을 거꾸로 읽으면 된다. 그다음 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 일을 나눈다 — b를 하나의 로그로, c를 하나의 로그로 만든 뒤, 마지막에야 둘을 비교한다.

1STEP 1

역수를 뒤집기

역수를 뒤집으면 밑과 진수가 바뀌어 a_n = log₂₀₀₂ n이 되고 모든 항이 밑을 공유한다.

x = log_n 2002 ⇔ n^x = 2002 ⇔ n = 2002¹/x ⇔ log₂₀₀₂ n = 1/x = a_n

2STEP 2

b를 하나의 로그로 접기

밑이 같은 로그는 곱해서 더해지므로 b = log₂₀₀₂(2 · 3 · 4 · 5).

b = log₂₀₀₂(2 · 3 · 4 · 5)

3STEP 3

c를 하나의 로그로 접기

같은 방식으로 c = log₂₀₀₂(10 · 11 · 12 · 13 · 14).

c = log₂₀₀₂(10 · 11 · 12 · 13 · 14)

4STEP 4

빼고 나서 약분하기

빼면 나눗셈이 되고, 인수끼리 약분하면 안에 1/(11 · 13 · 14)만 남는다.

b - c = log₂₀₀₂((2 · 3 · 4 · 5)/(10 · 11 · 12 · 13 · 14)) = log₂₀₀₂(1/(11 · 13 · 14))

5STEP 5

2002을 알아보기

그런데 그 곱이 밑인 2002이므로 b - c = -1, 보기 (B).

11 · 13 · 14 = 2002 → b - c = log₂₀₀₂(2002⁻¹) = -1

정답

-1

먼저 부호가 맞는다: c는 b보다 항이 많고 그 항들이 모두 더 크므로 b - c는 반드시 음수이다. 둘째로, 로그 법칙을 하나도 쓰지 않는 확인 방법이 있다. 로그를 지수 형태로 되돌리면 2002^b = 2 · 3 · 4 · 5 = 120이고 2002^c = 10 · 11 · 12 · 13 · 14 = 240240이다. 240240 = 120 · 2002이므로 2002^c = 2002^b · 2002¹ = 2002^b+1이다. 함수 t ↦ 2002^t는 각 값을 한 번씩만 가지므로 c = b + 1, 따라서 b - c = -1이다. 셋째로 상용로그 수치 확인: log 2002 ≈ 3.3016이므로 b ≈ 2.0792/3.3016 ≈ 0.6297, c ≈ 5.3806/3.3016 ≈ 1.6297이고 b - c ≈ -1.0000이다. 세 방법 모두 (B)로 일치한다.

💡핵심 정리

뒤집힌 로그는 두 수를 맞바꾼 것일 뿐이다: 1/(log_n N) = log_N n — 그래서 아홉 개의 다른 밑이 하나의 밑이 되고, 합은 하나의 곱으로 녹아든다.

역수를 뒤집기
b를 하나의 로그로 접기
c를 하나의 로그로 접기
빼고 나서 약분하기
2002을 알아보기

역수를 뒤집기

b를 하나의 로그로 접기

c를 하나의 로그로 접기

빼고 나서 약분하기

2002을 알아보기

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