AMC 10 · 2002 · #23
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
정말로 모르는 수는 하나뿐이므로 도구 #4 (변수 도입하기)로 시작한다: BC = 2m으로 쓰면 두 반쪽이 각각 m이고 중선은 2m이 된다. 그다음 도구 #1 (그림 그리기)을 좌표 그림으로 한 단계 올린다 — 중점 M을 원점에 두고 BC를 x축 위에 눕힌다. 이 배치가 핵심인데, 그러면 B와 C가 (-m, 0)과 (m, 0)에 놓여 원점에 대해 완벽히 대칭이 되기 때문이다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)이 마무리한다: AB², AC², AM²을 따로 쓴 뒤, 앞의 두 식을 더하면 A가 x축 방향으로 어디에 있는지가 통째로 사라지고 정확히 AM²만 남는다는 것을 알아챈다. 수선과 피타고라스로 그리는 그림 대신 좌표를 고른 데에는 이유가 있다: 수선의 발은 BC 안에 떨어질 수도, 밖에 떨어질 수도 있는데 어느 쪽인지 짐작하는 것은 근거 없는 가정이기 때문이다.
반쪽 변에 이름 붙이기
BC = 2m으로 쓰면 중점이 절반씩 나눠 BM = m이고 조건은 AM = 2m이 된다.
변을 m이 아니라 2m이라 부르면 반쪽 변이 온전한 글자가 되어 어디에도 분수가 나오지 않는다.
6.EE.A.2Introduce A Variable중점을 원점에 세우기
중점을 원점에 두고 BC를 축에 눕힌다; 강체 운동은 길이를 바꾸지 않는다.
삼각형을 밀고 돌려도 길이는 하나도 변하지 않으므로 계산이 가장 쉬운 자리에 두면 된다 — 가장 쉬운 자리는 중점을 가운데 두는 것이다.
삼각형을 밀거나 돌려도 길이는 달라지지 않으므로, 계산이 가장 쉬운 곳에 놓아도 된다.
▸ 왜?
강체운동은 도형을 자기 복사본 위에 포개므로, 모든 변이 길이를, 모든 각이 크기를 지킨다.
▸ 왜?
좌표 위에서 모든 길이는 직각삼각형이 두 변을 합치는 방식으로 두 좌표 차를 합친 것이다.
세 길이를 식으로 쓰기
거리 공식으로 p, q, m에 대한 세 식이 나온다.
좌표평면에서 모든 길이는 가로 차이와 세로 차이에 피타고라스를 쓴 것일 뿐이다.
8.G.B.8Identify Subproblems앞의 두 식을 더하기
두 변의 식을 더하면 교차항이 상쇄되어 2(p² + q²) + 2m² = 5가 남는다.
B와 C가 원점을 사이에 두고 -m과 +m에 거울처럼 놓여 있으므로, A가 어느 쪽으로 기울었는지를 기록하는 항은 더하는 순간 상쇄된다.
8.EE.C.8Identify Subproblems중선을 대입해 풀기
그 묶음이 중선의 제곱이므로 10m² = 5이고 BC = √(2), 보기 (C).
남은 묶음 p² + q²이 곧 중선의 제곱인데, 그것이야말로 문제가 공짜로 건네준 단 하나의 정보이다.
8.EE.A.2Introduce A Variable중점을 원점에 두면 변의 두 끝이 -m과 +m에 놓이므로, 두 거리 식을 더하는 순간 위쪽 꼭짓점이 어디로 기울었는지가 전부 상쇄되고 중선만 남는다.
- 반쪽 변에 이름 붙이기
- 중점을 원점에 세우기
- 세 길이를 식으로 쓰기
- 앞의 두 식을 더하기
- 중선을 대입해 풀기