AMC 10 · 2003 · #11

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
pythagorean-theoremarea-circlesequilateral-trianglecircumradius convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
정사각형 하나와 정삼각형 하나의 둘레가 같습니다. 정사각형의 네 꼭짓점을 지나는 원을 그리고 그 넓이를 A라 하고, 정삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 원을 그리고 그 넓이를 B라 합니다. A/B의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{9}{16}$
(B)
$\frac{3}{4}$
(C)
$\frac{27}{32}$
(D)
$\frac{3\sqrt{6}}{8}$
(E)
1
풀이 과정
전략 변수 도입하기

문제에 붙은 수가 하나도 없으므로, 도구 #4(변수 도입하기)가 빠진 손잡이를 만들어 줍니다. 공통 둘레를 P라 부르면 그림 속 모든 길이가 P에 대한 식이 됩니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 두 개의 독립적인 반지름 찾기로 나눕니다. 하나는 정사각형, 하나는 정삼각형이고, 비는 맨 마지막에만 조립합니다. 도구 #1(그림 그리기)은 각 반지름을 찾을 수 있게 만들어 줍니다. 중심을 찍고 알맞은 선분을 그으면 두 반지름 문제가 모두 직각삼각형 문제로 바뀌고, 직각삼각형은 피타고라스 정리로 마무리할 수 있습니다. 묻는 것이 비뿐이므로 P와 π는 약분될 것으로 예상되며, 이는 설정이 일관되었는지 확인하는 장치이기도 합니다.

1STEP 1

둘레에 이름 붙이고 변 구하기

공통 둘레를 P라 하면 변은 P/4와 P/3으로, 변의 개수가 달라 서로 다르다.

s_정사각형=P/4, s_정삼각형=P/3
2STEP 2

정사각형의 원의 반지름 구하기

정사각형의 대각선은 지름 전체이므로 반지름의 제곱은 P²/32이다.

d=P/4√(2)=P√(2)/4, r_A=d/2=P√(2)/8, r_A²=2P²/64=P²/32
3STEP 3

정삼각형의 높이 구하기

삼각형은 높이를 내리면 s√(3)/2가 된다.

h²=s²-(s/2)²=3s²/4, h=s√(3)/2
4STEP 4

정삼각형의 원의 반지름 구하기

중심을 그 높이 위에 두면 반지름의 제곱은 P²/27이다.

r²=s²/4+(h-r)² → 2hr=s² → r_B=s/√(3)=P/3√(3), r_B²=P²/27
5STEP 5

두 넓이 나누기

나누면 파이와 둘레가 상쇄되어 27/32가 남는다, 보기 (C).

A/B=(π P²/32)/(π P²/27)=1/32 · 27=27/32 → (C)
정답
27/32
삼각형이 더 뾰족한 모양이므로 둘레가 같을 때 꼭짓점이 중심에서 더 멀리 뻗고, 따라서 더 큰 원이 필요합니다. 그래서 A/B ＜ 1이 강제되어 (E)가 탈락하고, 답은 1보다 조금 작아야 하는데 27/32=0.84375가 여기에 들어맞습니다. 수치로도 확인됩니다. P=12라 하면 정사각형의 한 변은 3, 반지름은 3√(2)/2≈ 2.121로 r_A²=4.5이고, 정삼각형의 한 변은 4, 반지름은 4/√(3)≈ 2.309로 r_B²≈ 5.333이어서 4.5/5.333=0.84375입니다. (D)는 함정이라고 짚어 둘 만합니다. 3√(6)/8=√(27/32)≈ 0.919는 넓이가 아니라 반지름의 비이므로, 제곱하는 것을 잊었을 때 정확히 나오는 값입니다.
💡핵심 정리

두 도형의 둘레가 같을 때는 그 둘레에 문자를 붙이고, 각 도형 안의 직각삼각형으로 그 도형의 원의 반지름을 찾은 다음, 나눌 때 공통 문자가 약분되게 하면 됩니다.

  • 둘레에 이름 붙이고 변 구하기
  • 정사각형의 원의 반지름 구하기
  • 정삼각형의 높이 구하기
  • 정삼각형의 원의 반지름 구하기
  • 두 넓이 나누기

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