AMC 10 · 2003 · #17
학년 8 geometry-2d
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원은 결국 거리 규칙일 뿐이다: "A에서 4만큼 떨어져 있어라", "M에서 2만큼 떨어져 있어라". 도구 #13(대수로 바꾸기)은 이 두 규칙을 두 개의 식으로 바꾸고, 우리가 찾는 점은 이미 알려준 해가 아닌 나머지 해이다. 도구 #1(그림 그리기)은 답을 바로 읽을 수 있게 좌표를 고른다 — D를 원점에 두고 AD를 축 위에 놓으면 AD까지의 거리가 좌표 하나가 된다. 도구 #4(변수 도입하기)는 P=(x,y)라고 이름 붙인다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 계산을 나눈다: 두 식 모두 x²+y²을 품고 있으므로 하나에서 다른 하나를 빼면 제곱 항이 사라지고 두 교점을 지나는 직선이 남는다. 원 하나를 통째로 푸는 것보다 훨씬 쉽다.
정사각형을 좌표에 놓기
정사각형을 좌표에 놓으면 AD가 축 위에 오므로 답은 P의 x좌표일 뿐이다.
정사각형을 축에 맞춰 놓으면 답이 좌표 하나로 바뀐다.
6.G.A.3Draw A Diagram각 원을 식으로 쓰기
각 원이 거리 식이 되고 둘 다 D와 P에서 성립한다.
"원 위에 있다"는 곧 "중심에서 이만큼 떨어져 있다"이고, 거리 공식이 그것을 식으로 적어 준다.
8.G.B.8Introduce A Variable빼서 제곱 항 없애기
빼면 제곱 항이 사라지고 두 교점을 지나는 직선 x = 2y가 남는다.
두 원이 똑같은 x²+y²을 짊어지고 있으므로, 빼면 깔끔한 직선만 남는다.
두 원이 같은 제곱 항을 지니므로, 한 식에서 다른 식을 빼면 직선이 남는다.
▸ 왜?
원의 방정식은 점이 중심에서 일정한 거리에 있다는 말이며, 그 거리는 두 좌표 차를 직각삼각형의 변처럼 합친 것이다.
▸ 왜?
참인 등식에서 다른 참인 등식을 빼도 참이 유지되므로, 공통된 제곱 항을 지워도 된다.
D가 아닌 점 구하기
대입하면 5y² = 8y이고, D인 근을 버리면 y = 8/5가 남는다.
두 원은 두 번 만난다. 이미 받아 놓은 교점을 버리면 나머지 하나는 저절로 정해진다.
8.EE.C.7Introduce A Variable좌표에서 거리 읽기
따라서 거리는 x좌표 16/5, 보기 (B).
세로 직선까지의 거리는 그냥 가로로 벌어진 간격이다.
6.NS.C.8Identify Subproblems원은 거리 규칙일 뿐이므로 두 원을 식으로 쓰면 된다. 두 식은 같은 x²+y² 부분을 공유하므로 빼면 두 교점을 지나는 직선 x=2y가 남고, 그중 D인 해를 버리면 남는 것이 P이다.
- 정사각형을 좌표에 놓기
- 각 원을 식으로 쓰기
- 빼서 제곱 항 없애기
- D가 아닌 점 구하기
- 좌표에서 거리 읽기