AMC 10 · 2003 · #3

학년 6 geometry-3d

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Fraction or Difference of a Bounding Solid

volume-rectangular-prismpercentagespatial-visualization identify-subproblems ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prism

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

직육면체 상자의 크기는 가로 15 cm, 세로 10 cm, 높이 8 cm이다. 이 상자의 각 꼭짓점에서 한 변이 3 cm인 정육면체를 하나씩 잘라낸다. 잘려 나간 부분이 원래 부피의 몇 퍼센트인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$4.5\%$

(B)

$9\%$

(C)

$12\%$

(D)

$18\%$

(E)

$24\%$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

"퍼센트"라는 말 안에는 세 개의 작은 일이 숨어 있어서, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이렇게 나눈다: 상자 전체의 부피 구하기, 잘려 나간 부피 구하기, 그다음 그 비를 퍼센트로 바꾸기. 풀이에서 실수하기 쉬운 곳은 꼭짓점 개수를 세는 부분이므로, 도구 #17(공간 상상하기)로 상자에는 꼭짓점이 4개나 6개가 아니라 정확히 8개 있음을 확정한다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 모든 부피를 cm³으로 맞춰 두면 마지막 비가 깔끔한 수 대 수의 퍼센트가 된다.

1STEP 1

상자 전체의 부피

상자의 부피는 15 × 10 × 8 = 1200 세제곱센티미터다.

V_상자 = 15 × 10 × 8 = 1200 cm³

2STEP 2

꼭짓점 세기와 정육면체 하나

상자에는 꼭짓점이 여덟 개이고, 잘라낸 정육면체 하나는 27 세제곱센티미터다.

8 개의 꼭짓점, V_정육면체 = 3³ = 27 cm³

3STEP 3

잘려 나간 총 부피

여덟 개면 8 × 27 = 216이 잘려 나간다.

V_제거 = 8 × 27 = 216 cm³

4STEP 4

비를 퍼센트로 바꾸기

나누면 1200분의 216 = 18%, 보기 (D).

V_제거/V_상자 = 216/1200 = 0.18 = 18% → (D)

정답

18%

잘려 나간 부피 216 cm³은 1200 cm³ 상자에서 작은 조각이므로, 답은 사분의 일보다 훨씬 작아야 하는데 18%가 바로 그렇다. 빠른 확인: 216/1200은 240/1200 = 1/5 = 20%보다 조금 작으므로 18%는 딱 맞는 자리에 있다. 만약 꼭짓점을 잘못하여 6개로 쓰면 162/1200 = 13.5%(해당 선택지 없음), 4개로 쓰면 9%(선택지 B)가 나오는데, 둘 다 꼭짓점 개수를 잘못 세도록 만든 함정이다. 즉 개수를 정확히 세는 것이 이 문제의 핵심이다.

💡핵심 정리

"몇 퍼센트가 잘려 나갔나"는 결국 잘린 부피를 전체 부피로 나눈 것일 뿐이다 — 그리고 상자에는 꼭짓점이 네 개가 아니라 여덟 개 있다는 것을 기억하자.

상자 전체의 부피
꼭짓점 세기와 정육면체 하나
잘려 나간 총 부피
비를 퍼센트로 바꾸기

상자 전체의 부피

꼭짓점 세기와 정육면체 하나

잘려 나간 총 부피

비를 퍼센트로 바꾸기

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