AMC 10 · 2003 · #20

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

graph-readingpolynomial-rootssystems-of-equations convert-to-algebraformula-substitution ↑ 선수 지식: function-evaluation

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

삼차함수 f(x)=ax³+bx²+cx+d의 그래프 일부가 그려져 있다. 그림이 정확히 표시하는 점은 셋이다 — x축과 -1, 1에서 만나고 y축과 높이 2에서 만난다. 계수 b를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-4

(B)

-2

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

자료를 품고 있는 것은 그림이므로, 도구 #1(그림 그리기)을 그리기가 아니라 읽기로 먼저 쓴다 — 좌표가 정확히 표시된 점만 거두고, 근사로만 그려진 나머지 곡선은 버린다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 거둬들인 각 점의 x값을 ax³+bx²+cx+d에 대입해 식으로 바꾼다. 마무리는 도구 #15(다르게 정리하기)다 — 식 세 개로 미지수 네 개는 부족해 보이지만, x=1과 x=-1의 식을 더하면 홀수 차수 항이 한꺼번에 사라지고 b와 d만 남는다.

1STEP 1

정확한 점 세 개 거두기

표시된 세 점만 읽는다; 나머지 곡선은 자료가 아니다.

f(-1)=0, f(1)=0, f(0)=2

2STEP 2

점마다 식 하나 만들기

대입하면 각 점이 식이 되고 음수 입력에서 부호가 뒤집힌다.

f(0)=d=2, f(1)=a+b+c+d=0, f(-1)=-a+b-c+d=0

3STEP 3

두 개의 영점 식을 더하기

두 영점 식을 더하면 홀수 차수가 상쇄되어 b = -d가 남는다.

(a+b+c+d) + (-a+b-c+d) = 2b+2d = 0 ⟹ b = -d

4STEP 4

y절편 대입하기

y절편이 d를 주므로 b = -2이고 a와 c는 필요 없다, 보기 (B).

d = 2 ⟹ b = -d = -2 → (B)

정답

-2

그림에 맞는 삼차함수를 하나 만들어 b를 직접 확인해 보자. a=5/4로 잡으면 c=-a=-5/4이고 f(x)=5/4x³-2x²-5/4x+2=5/4(x+1)(x-1)(x-8/5)이다. 이 함수는 f(-1)=0, f(1)=0, f(0)=2를 만족하고, y축 조금 왼쪽에서 약 2.17의 최고점을 찍으며, 세 번째 근 8/5이 그림의 오른쪽 끝 바깥에 있어서 창의 오른쪽 끝에서도 여전히 축 아래에 있다 — 그림에 나온 모양 그대로다. 그 x²의 계수는 -2로 일치한다. a를 바꾸면 최고점과 세 번째 근은 달라지지만 b와 d는 절대 달라지지 않는다. 그래서 그림이 a를 표시하지 않아도 되는 것이다. 함정은 y절편을 d가 아니라 b로 읽어 2, 즉 (D)로 답하는 것이다.

💡핵심 정리

다항식에 1과 -1을 넣어 결과를 더하면 홀수 차수 항은 모두 지워지고 짝수 차수 항만 남는다.

정확한 점 세 개 거두기
점마다 식 하나 만들기
두 개의 영점 식을 더하기
y절편 대입하기

정확한 점 세 개 거두기

점마다 식 하나 만들기

두 개의 영점 식을 더하기

y절편 대입하기

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