AMC 10 · 2003 · #24

학년 9 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

absolute-valuepiecewise-linear-functionoptimization convert-to-algebraextreme-principle ↑ 선수 지식: absolute-value

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

a ＜ b ＜ c인 양의 정수 a,b,c를 고른다. 한 식 2x+y=2003은 직선이고, 다른 식 y=|x-a|+|x-b|+|x-c|는 a, b, c에서 꺾인다. 두 그래프가 정확히 한 점에서 만나야 한다. 그렇게 되는 모든 경우 중에서 c가 될 수 있는 가장 작은 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

668

(B)

669

(C)

1002

(D)

2003

(E)

2004

풀이 과정

전략 극단의 원리

절댓값 세 개의 합은 기울기가 -3,-1,1,3으로 올라가는 선분 사슬이다. 직선의 기울기는 -2로 앞의 두 값 사이에 정확히 끼어 있다. 이 한 가지 사실이 문제 전부다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 두 그래프를 비교하는 대신 둘의 차이 g(x)=|x-a|+|x-b|+|x-c|-(2003-2x)를 보라고 말한다. 2x를 더하면 모든 기울기가 2씩 올라가서 g의 기울기는 -1,1,3,5가 되고, g는 내려갔다가 올라가며 방향을 바꾸는 지점은 x=a 하나뿐이다. 그러면 도구 #14(극단의 원리)가 마무리한다. 내려갔다 올라가는 함수가 0을 정확히 한 번 만나는 것은 최솟값이 0일 때뿐이므로, "해가 정확히 하나"라는 조건이 평범한 방정식으로 바뀐다. 도구 #1(그림 그리기)로 네 조각 모양을 눈에 두고, 도구 #4(변수 도입하기)로 그 차이 함수에 이름을 붙여 기울기를 추적한다.

1STEP 1

연립방정식을 한 방정식으로 줄이기

직선을 대입하면 x에 대한 식 하나가 남고 교점은 그 근이다.

|x-a|+|x-b|+|x-c|=2003-2x

2STEP 2

V자 사슬의 네 기울기 읽기

꺾인 사슬은 네 구간에서 기울기가 -3, -1, +1, +3이다.

f'=-3 (x ＜ a), -1 (a ＜ x ＜ b), +1 (b ＜ x ＜ c), +3 (x ＞ c)

3STEP 3

두 그래프 대신 그 차이를 보기

직선을 더하면 모든 기울기가 2씩 올라 차 함수는 첫 꺾임점에서 상승으로 돌아선다.

g(x)=|x-a|+|x-b|+|x-c|+2x-2003; g'=-1, +1, +3, +5

4STEP 4

바닥이 0에 닿을 때만 근이 하나

이런 모양은 최솟값이 0일 때만 0과 정확히 한 번 만난다.

#{x: g(x)=0}= 2,& g(a) ＜ 0 ; 1,& g(a)=0 ; 0,& g(a) ＞ 0

5STEP 5

바닥 값 계산하기

그 점에서 값을 구하면 a가 사라지고 깔끔한 조건 b + c = 2003이 남는다.

g(a)=(b-a)+(c-a)+2a-2003=b+c-2003=0⇔ b+c=2003

6STEP 6

조건이 허락하는 만큼 c 낮추기

b가 c보다 작으므로 c = 1002 이상이어야 하고 실제로 도달한다, 보기 (C).

b+c=2003, b ＜ c→ 2c ＞ 2003→ c ≥ 1002; (a,b,c)=(1000,1001,1002)→(C) 1002

정답

1002

(a,b,c)=(1000,1001,1002)을 직접 확인해 보자. x=1000에서 곡선은 0+1+2=3, 직선은 2003-2000=3이므로 두 그래프는 (1000,3)에서 만난다. 다른 곳에서는 만나지 않는다. g가 x=1000 전까지 기울기 -1로 내려가고 그 뒤로 올라가므로 g=0은 바닥에서만 일어나기 때문이다. c가 더 작아질 수 없음도 확인된다. c ≤ 1001이면 b=2003-c ≥ 1002 ＞ c가 되어 b ＜ c에 어긋난다. 오답 선택지는 알아보기 쉬운 함정이다. 668과 669는 a+b+c가 조건을 지배하는 양 2003을 셋으로 나눈 값이고, 2003과 2004는 묶이는 것이 b+c뿐이라는 점을 놓친 값이다. 세 수를 전수로 훑어봐도 결과는 같다. 해가 정확히 하나인 경우는 정확히 b+c=2003일 때이고, 그때 가능한 가장 작은 c는 1002이다.

💡핵심 정리

V자 그래프와 직선이 만나는 문제는 직선을 먼저 빼서 보자. 두 그래프가 딱 한 번 만나는 것은 V의 바닥이 정확히 그 직선에 놓일 때뿐이다.

연립방정식을 한 방정식으로 줄이기
V자 사슬의 네 기울기 읽기
두 그래프 대신 그 차이를 보기
바닥이 0에 닿을 때만 근이 하나
바닥 값 계산하기
조건이 허락하는 만큼 c 낮추기