AMC 10 · 2004 · #12

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Point as the Answer

coordinate-geometryslope-interceptsystems-of-equations convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: linear-equations-two-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

y 축 위에 두 점 A=(0,9)와 B=(0,12)가 있습니다. 또 다른 두 점 A' 과 B' 은 직선 y=x 위 어딘가에 있습니다. A 에서 A' 로 가는 선분과 B 에서 B' 로 가는 선분이 점 C=(2,8) 에서 만납니다. 선분 A'B'의 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$2\sqrt2$

(C)

(D)

$2 + \sqrt 2$

(E)

$3\sqrt 2$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

두 미지의 점은 각각 두 가지 사실로 고정됩니다: y=x 위에 있다는 것, 그리고 이미 아는 두 점과 한 직선 위에 있다는 것입니다. 도구 #4로 두 사실을 식으로 바꿉니다 — A'=(a,a), B'=(b,b)로 쓰면 직선 조건이 표기 안에 이미 들어가 있어서 점마다 미지수가 하나만 남습니다. A 와 B 가 y 축 위에 있으므로 y 절편은 그냥 주어지고 기울기만 C 로부터 구하면 되어 직선 식도 쉽게 나옵니다. 도구 #1은 상황을 정직하게 지켜 줍니다: 풀이 후에 C 가 정말 두 선분 안쪽에 들어오는지, A'B'이 45° 직선을 따라 놓이는지 그림으로 확인해야 합니다.

1STEP 1

미지의 점에 좌표 붙이기

그 직선 위의 점은 두 좌표가 같으므로 각 미지점은 수 하나면 된다.

A'=(a,a), B'=(b,b)

2STEP 2

A와 C를 지나는 직선 구하기

아는 두 점이 절편을 축에서 바로 읽히는 직선을 준다: 기울기 -1/2.

기울기 = (8-9)/(2-0) = -1/2 ⟹ y = -1/2x + 9

3STEP 3

그 직선과 y = x의 교점 구하기

대각선과 만나게 하면 A' = (6,6)이다.

a = -1/2a + 9 ⟹ 3/2a = 9 ⟹ a = 6, A'=(6,6)

4STEP 4

B와 C에 대해 반복하기

다른 선분에 같은 두 단계를 쓰면 B' = (4,4)이다.

기울기=(8-12)/(2-0)=-2 → y=-2x+12; b=-2b+12 → b=4, B'=(4,4)

5STEP 5

C가 두 선분 안에 있는지 확인하기

확인하면 교점이 실제로 두 선분 안에 있다.

0 ＜ 2 ＜ 6 이고 0 ＜ 2 ＜ 4; BB' 의 중점 = ((0+4)/2,(12+4)/2) = (2,8) = C

6STEP 6

A'B' 길이 재기

가로와 세로 변화가 같아 길이는 2√(2), 보기 (B).

|A'B'| = √((6-4)² + (6-4)²) = √(8) = 2√(2) → (B)

정답

2√2

두 답 모두 조건을 전부 만족합니다: A'=(6,6)과 B'=(4,4)는 두 좌표가 같으므로 y=x 위에 있습니다. x=2를 y=-1/2x+9에 넣으면 8, y=-2x+12에 넣어도 8 이므로 두 선분 모두 정말 C=(2,8)을 지납니다. 크기도 타당합니다: 2√2≈ 2.83으로 선택지 (A) 2와 (C) 3 사이이며, 가로 간격이 2 인 45° 선분의 길이로 정확히 맞습니다. 2 나 3이 되려면 선분이 45° 가 아니어야 하고, 3√2가 되려면 가로 간격이 3 이어야 합니다.

💡핵심 정리

직선 y = x 위의 점을 (t, t)로 적으면 직선 조건 하나가 쉬운 방정식 하나가 됩니다 — 여기서는 (6,6)과 (4,4)가 나오고 거리는 2 곱하기 루트 2입니다.

미지의 점에 좌표 붙이기
A와 C를 지나는 직선 구하기
그 직선과 y = x의 교점 구하기
B와 C에 대해 반복하기
C가 두 선분 안에 있는지 확인하기
A'B' 길이 재기