AMC 10 · 2004 · #2

학년 7 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

linear-equations-one-vardecimal-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mental-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

시험에는 문제가 25 개 있고, 정답은 6 점, 오답은 0 점, 빈칸은 2.5 점입니다. Charlyn은 8 문제를 빈칸으로 두고 나머지 17 문제에 답합니다. 총점이 100 점 이상이 되게 하는 최소 정답 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

점수는 두 부분으로 깔끔하게 나뉩니다(도구 #7): 이미 확정된 빈칸 8 개의 점수와, 정답 개수에 따라 달라지는 답한 문제들의 점수입니다. 오답은 0 점이므로 아무 기여도 하지 않아 완전히 무시할 수 있습니다. 그러면 문제 전체가 미지수 하나짜리 부등식이 됩니다(도구 #13): 고정 점수에 정답 하나당 6 점을 더해 100에 도달해야 합니다. 문제가 "반드시" 몇 개를 맞혀야 하는지 묻고 있으므로, 목표는 그 부등식을 만족하는 가장 작은 자연수입니다(도구 #14) — 부등식을 풀면 분수가 나오므로 경계를 조심해서 다뤄야 합니다.

1STEP 1

빈칸에서 확보한 점수 계산하기

빈칸은 확보된 점수라 미리 20점이 쌓인다.

8×2.5 = 20

2STEP 2

점수 부등식 세우기

오답은 0점이므로 총점은 6c + 20이고 100 이상이어야 한다.

6c + 20 ≥ 100

3STEP 3

부족한 점수 구하기

풀면 정답이 13과 3분의 1개 이상이어야 한다.

6c ≥ 80 ⟹ c ≥ 80/6 = 13 1/3

4STEP 4

올림하고 양쪽 확인하기

올림하고 양쪽을 확인하면 14, 보기 (C).

6(13)+20 = 98 ＜ 100, 6(14)+20 = 104 ≥ 100 → (C)

정답

빈칸 8 개일 때 최고 점수는 17×6+20 = 122 점이므로, 100 점은 가능하지만 빠듯합니다 — 17 문제 중 대부분을 맞혀야 하고, 14 개라는 값이 그 그림과 맞습니다. 진짜 확인은 경계에서 이루어집니다: 13 개는 98 점으로 딱 2 점 모자라고, 14 개는 104 점입니다. (D) 16과 (E) 17도 100 점을 넘는 점수(116 점, 122 점)를 주지만 이 문제의 답은 아닙니다. "반드시"는 충분한 개수 중 가장 작은 것을 묻기 때문입니다. (A) 11과 (B) 13은 86 점, 98 점으로 모두 100 점에 미치지 못합니다.

💡핵심 정리

이미 확보한 점수를 먼저 챙기고, 남은 점수를 문제 하나의 값으로 나누세요 — 80 점을 채우려면 6 점짜리 문제 14 개가 필요합니다. 13 개면 2 점이 모자라기 때문입니다.

빈칸에서 확보한 점수 계산하기
점수 부등식 세우기
부족한 점수 구하기
올림하고 양쪽 확인하기

빈칸에서 확보한 점수 계산하기

점수 부등식 세우기

부족한 점수 구하기

올림하고 양쪽 확인하기

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