AMC 10 · 2004 · #21

학년 11 algebra

유형 Geometric Series Share └ 세부 유형 Cyclic Participant Share

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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

1 + cos²θ + cos⁴θ + cos⁶θ 를 끝없이 더한다. 이 무한합이 5이다. 이 사실만으로 cos 2θ 를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac15$

(B)

$\frac25$

(C)

$\frac {\sqrt5}{5}$

(D)

$\frac35$

(E)

$\frac45$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

삼각함수 문제처럼 보이지만 합 안에서 삼각함수적인 일은 아무것도 일어나지 않는다. 항들은 그저 (u = cos²θ)라는 한 수에 대한 (1, u, u², u³, …)일 뿐이다. 그 수에 이름을 붙이면 좌변 전체가 평범한 등비급수가 되고, 등식은 (u)에 대한 한 줄짜리 대수 문제가 된다. 삼각함수는 맨 마지막에, (cos²θ)를 배각 공식으로 (cos 2θ)로 바꿀 때만 돌아온다.

1STEP 1

한 수의 거듭제곱임을 보기

각 항이 한 수의 거듭제곱이므로 이것은 등비급수다.

cos²ⁿθ = (cos²θ)ⁿ = uⁿ, Σ_n=0^∞cos²ⁿθ = 1 + u + u² + u³ + …

2STEP 2

합을 구하고 수렴을 확인하기

합이 유한하므로 비가 1보다 작아 닫힌 형태를 써도 된다.

Σ_n=0^N uⁿ = (1-u^N+1)/(1-u) ⟶ 1/(1-u) (N → ∞, 0 ≤ u ＜ 1)

3STEP 3

코사인 제곱 구하기

나온 일차방정식을 풀면 cos²θ = 4/5이다.

1/(1-u) = 5 ⟹ 1 - u = 1/5 ⟹ u = cos²θ = 4/5

4STEP 4

배각을 전개하기

배각을 전개하면 cos²θ - sin²θ이다.

cos 2θ = cos(θ+θ) = cosθcosθ - sinθsinθ = cos²θ - sin²θ

5STEP 5

대입해서 마무리하기

항등식으로 바꿔 대입하면 3/5, 보기 (D).

cos 2θ = cos²θ - (1 - cos²θ) = 2cos²θ - 1 = 2 · 4/5 - 1 = 3/5

정답

3/5

답이 실제로 실현 가능한지 확인한다. (cos²θ = 4/5)는 ([0,1)) 안에 있으므로 실수 각이 존재한다. 예를 들어 (θ = arccos2/√5 ≈ 26.57°)이다. 그러면 (2θ ≈ 53.13°)이고 (cos 2θ ≈ 0.6 = 3/5)이다. 수치로 더해 봐도 맞는다. (1 + 0.8 + 0.64 + 0.512 + … = 1/0.2 = 5). 오답 중 둘은 계산 도중에 나오는 값이라 짚어 둘 만하다. (4/5)는 (cos²θ) 자체(한 단계 일찍 멈춘 값)이고, (1/5)는 (sin²θ)이다. 둘 다 도중에 등장하지만 물어본 값은 아니다.

💡핵심 정리

끝없는 합의 모든 항이 같은 수를 한 번씩 더 곱한 것이라면, 그 합 전체는 (1/(1 - 그 수)) 하나로 줄어든다.

한 수의 거듭제곱임을 보기
합을 구하고 수렴을 확인하기
코사인 제곱 구하기
배각을 전개하기
대입해서 마무리하기

한 수의 거듭제곱임을 보기

합을 구하고 수렴을 확인하기

코사인 제곱 구하기

배각을 전개하기

대입해서 마무리하기

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