AMC 10 · 2015 · #25
학년 11 geometry-2d
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반지름 자체를 추적하는 것은 가망이 없다. 여섯 층을 지나면 반지름이 65개나 되고, 하나같이 거대한 제곱수들의 비이기 때문이다. 그런데 문제가 묻는 것은 반지름이 아니라 1/√(r)이고, 바로 그것이 힌트다. 도구 #1(그림 그리기)은 각 접점에서 반지름을 수직으로 내려 "두 원이 맞닿는다"를 직각삼각형으로 바꾸고, 두 접점 사이의 정확한 가로 거리를 준다. 도구 #3(가능성 지우기)이 필요한 이유는 x축에 접하면서 두 부모 원에 외접하는 원이 서로 다른 두 개 존재하기 때문이다. 층의 크기 2^k-1과 그림이 틈 안의 원을 골라 준다. 도구 #4(변수 도입하기)가 핵심이다. j(C)=1/√(r(C))라고 이름 붙이면 접선 관계가 단순한 덧셈 j_새=j_왼+j_오가 된다. 그다음부터는 기하가 남지 않는다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 한 층의 합을 "지금까지 만든 것 전부의 두 배에서 양 끝 두 값을 뺀 것"으로 다시 읽고, 도구 #5(패턴 찾기)는 거기서 나온 점화식을 닫힌 식으로 바꾼다.
원 하나는 두 수로 결정된다
두 수가 각 원을 설명한다.
각 반지름을 축까지 내리면 두 중심이 직각삼각형의 꼭짓점이 되어, 맞닿는다는 조건이 피타고라스 식 하나가 된다.
각 반지름을 축까지 내리면 두 중심이 직각삼각형의 꼭짓점에 놓이므로, 맞닿음이 식 하나가 된다.
▸ 왜?
바깥에서 맞닿은 두 원은 중심에서 중심까지 두 반지름을 더한 만큼 떨어져 있다.
▸ 왜?
중심 사이의 길이는 가로 간격과 세로 간격 위의 빗변이다.
어떤 새 원인지 확정하기
이웃에 닿는다는 것이 식 하나를 준다.
접한다는 조건만으로는 원이 두 개 나오고, 틈에 끼인 원만이 틈 하나당 새 원 하나라는 개수를 지킨다.
9.A-CED.A.3Eliminate Possibilities2√(r₁r₂z)로 나누기
나누면 그것이 완전히 단순해진다.
세 반지름을 모두 곱한 것의 제곱근으로 나누는 순간 제곱근이 전부 무너진다.
11.N-RN.A.2Introduce A Variable1/√(r)을 j로 부르기
새 변수에서는 규칙이 그저 덧셈이다.
문제가 1/(sqrt r)을 묻는 이유는, 그것이 이 그림에서 그냥 더해지는 유일한 양이기 때문이다.
9.F-BF.A.1Organize Information In More Ways한 층의 합: 두 배에서 양 끝을 빼기
한 층의 합은 두 배에서 양 끝을 뺀 것이다.
옛 원은 저마다 왼쪽 원 하나와 오른쪽 원 하나를 만드는 데 쓰인다. 단, 양 끝 두 원만은 한쪽에만 이웃이 있다.
9.F-IF.A.3Organize Information In More Ways점화식 풀기
그 점화식은 닫힌 식으로 풀린다.
한 회마다 누적합이 거의 세 배가 되고, S₀의 절반만큼 평행이동하면 정확히 세 배가 된다.
11.A-SSE.B.4Look For A Pattern수를 대입하기
대입하면 143/14, 보기 (D).
70 · 73=5110=14 · 365이므로 여섯 층이 쌓아 올린 365가 곧바로 약분된다.
9.A-SSE.A.2Introduce A Variable구성이 실제로 맞는지 확인하기
층을 다시 쌓아 보면 확인된다.
원들이 겹치거나 처음 두 원 바깥으로 나간다면 "두 배에서 양 끝 빼기" 계산이 어긋나므로, 그렇지 않음을 확인한다.
9.A-CED.A.3Eliminate Possibilities직선 위에 얹힌 원들은 1/√(r)끼리 더해지므로, 그 수에 이름을 붙이면 그림이 새 항마다 양옆 두 수의 합이 되는 목록으로 바뀐다.
- 원 하나는 두 수로 결정된다
- 어떤 새 원인지 확정하기
- 2√(r₁r₂z)로 나누기
- 1/√(r)을 j로 부르기
- 한 층의 합: 두 배에서 양 끝을 빼기
- 점화식 풀기
- 수를 대입하기
- 구성이 실제로 맞는지 확인하기