AMC 10 · 2007 · #15
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
하나의 급수에 대해 두 가지 사실이 주어졌으므로, 같은 급수를 두 가지 방식으로 정리해 보아야 한다(도구 #15). 항들을 짝수 지수 더미와 홀수 지수 더미로 나누는 것(도구 #7)이 핵심이다. 두 더미의 합은 다시 7이 되어야 하므로 짝수 더미는 7 - 3 = 4로 곧바로 얻어지고, 두 더미를 항끼리 맞춰 보면 홀수 더미가 짝수 더미의 정확히 r배임이 드러난다. 이 구조적 사실 하나로 문제는 일차방정식 3 = 4r로 바뀌며(도구 #13), 급수 공식은 필요조차 없다. 닫힌 꼴 a/(1-r) = 7은 그다음, 전체 합에서 첫째항을 거꾸로 되짚을 때에만 쓰인다(도구 #11). 마지막 단계는 장식이 아니다. 그 앞의 모든 과정은 a와 r이 무엇이어야 하는지만 보여줄 뿐이므로, 후보값을 다시 대입해 그런 급수가 실제로 존재함을 확인해야 한다(도구 #6).
합이 존재한다는 말의 의미
합이 존재한다는 것만으로 공비가 제한된다.
"합이 7이다"라는 말이 조용히 |r| ＜ 1을 건네주고, 바로 그것이 급수를 쪼갤 수 있게 해 준다.
11.A-SSE.B.4Introduce A Variable지수의 홀짝으로 항 나누기
자리로 나누면 합이 두 더미로 갈린다.
모든 항이 정확히 한 더미에만 들어가므로 두 더미의 합은 원래의 7을 그대로 복원해야 한다.
9.A-CED.A.3Organize Information In More Ways홀수 더미는 짝수 더미의 r배
한 더미가 다른 더미의 공비 배라 방정식 하나가 나온다.
짝수 더미를 급수를 따라 한 칸 밀어 놓는 것은 모든 항에 r을 곱하는 것과 같으므로, 두 합은 딱 그 배수만큼 차이 난다.
짝수 자리 더미를 급수 위에서 한 걸음 밀면 그 모든 항에 공비가 곱해진다.
▸ 왜?
모든 항은 앞 항에 같은 수를 곱한 것이므로, 한 번 미는 것은 한 번 곱하는 것이다.
▸ 왜?
공비의 크기가 1보다 작아 급수 전체가 유한한 값에 자리 잡으므로, 더미를 따로 다룰 수 있다.
공비 구하기
풀면 공비는 3/4이다.
깔끔한 일차방정식 하나가 공비를 고정하고, 0일 수도 있었던 값으로 나눈 적은 한 번도 없다.
9.A-REI.B.3Convert To Algebra거꾸로 첫째항 찾기
그러면 합이 첫째항을 7/4로 준다.
급수는 자기 자신을 축소한 복사본을 품고 있으므로, 첫째항은 그 복사본을 빼고 남은 몫일 뿐이다.
11.A-SSE.B.4Work Backwards확인한 뒤 더하기
더하면 5/2, 보기 (D).
값이 무엇이어야 하는지 알아내는 것은 절반일 뿐이고, 다시 대입해 보는 것이 그런 급수가 정말 있음을 증명한다.
9.A-REI.B.3Guess And Check항을 홀수 더미와 짝수 더미로 나누면 두 더미의 합이 전체가 되고, 홀수 더미는 짝수 더미의 정확히 r배이므로 주어진 두 합만으로 공비가 바로 나온다.
- 합이 존재한다는 말의 의미
- 지수의 홀짝으로 항 나누기
- 홀수 더미는 짝수 더미의 r배
- 공비 구하기
- 거꾸로 첫째항 찾기
- 확인한 뒤 더하기
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
