AMC 10 · 2004 · #22
학년 8 geometry-3d pythagorean-theoremtangent-circlescentroid-2-to-1 physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
반지름이 1인 공 세 개가 평평한 바닥 위에 서로 맞닿은 채 놓여 있다. 그 위에 반지름이 2인 더 큰 공이 세 공에 얹혀 있다. 바닥에서 큰 공의 가장 높은 점까지의 높이를 구하라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\ 3 + \frac {\sqrt {30}}{2}$
(B)
$\ 3 + \frac {\sqrt {69}}{3}$
(C)
$\ 3 + \frac {\sqrt {123}}{4}$
(D)
$\ \frac {52}{9}$
(E)
$\ 3 + 2\sqrt2$
풀이 과정
전략 공간 상상하기
구 자체로는 다루기 어렵지만, 중심들만 이으면 간단한 사면체가 된다. 세 작은 중심이 이루는 정삼각형이 밑면이고 큰 중심이 꼭짓점이다. 이 뼈대를 떠올리면 3차원 문제가 평면 직각삼각형 두 개로 바뀌고, 각각 피타고라스 정리로 풀린다. 전체 높이를 세 조각(밑면 중심 높이, 꼭짓점까지의 수직 상승, 위쪽 반지름)으로 쌓아 나누면 모든 단계가 작아진다.
1STEP 1
네 중심을 잇기
맞닿은 공의 중심 사이 거리는 정해진다: 2와 3.
d_작은-작은 = 1 + 1 = 2, d_작은-큰 = 1 + 2 = 3
두 공은 그 중심 사이 거리가 반지름의 합과 같을 때 정확히 맞닿는다.
두 공이 맞닿는다는 것은 중심 사이의 거리가 두 반지름을 더한 것과 같다는 뜻이다.
▸ 왜?
닿는 점은 중심을 잇는 직선 위에 있으므로, 그 직선은 두 반지름을 이어 붙인 것이다.
맞닿은 두 원의 중심 거리는 반지름으로 정해진다바깥에서 맞닿은 두 원의 중심은 두 반지름을 더한 만큼 떨어져 있고, 하나가 다른 하나 안에 있으면 그 거리는 반지름의 차가 된다.
▸ 왜?
중심에서 중심으로 가는 선분은 가로와 세로 그림자를 두 변으로 하는 빗변이다.
피타고라스 정리직각삼각형에서 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다(a²+b²=c²).
2STEP 2
밑면 삼각형의 외접반지름
세 작은 중심은 정삼각형을 이루고 외접반지름의 제곱은 4/3이다.
R = 2/3√3 = 2/√3 = 2√3/3, R² = 4/3
정삼각형의 중심은 각 중선을 꼭짓점에서 3분의 2 내려온 지점에 있다.
8.G.B.7Identify Subproblems3STEP 3
위쪽 중심까지의 수직 상승
직각삼각형에서 수직 상승은 √(69)/3이다.
h = √(3² - R²) = √(9 - 4/3) = √(23/3)
중심에서 중심까지의 선분이 빗변이고, 그 수평·수직 그림자가 두 변이다.
8.G.B.7Identify Subproblems4STEP 4
세 높이를 쌓기
중심 높이, 상승, 큰 반지름을 쌓으면 3 + √(69)/3, 보기 (B).
h = √(23/3) = √(23)/√3 = √(69)/3, 1 + √(69)/3 + 2 = 3 + √(69)/3
전체 높이는 바닥에서 중심, 중심에서 중심, 중심에서 꼭대기 반지름, 이 세 조각을 쌓은 것일 뿐이다.
8.EE.A.2Identify Subproblems정답
3 + √(69)/3
수치로는 (3 + √(69)/3 ≈ 3 + 2.77 = 5.77)이다. 이는 3보다 크고(큰 중심의 반지름과 밑면 높이만으로 이미 3을 넘는다) 6보다 작으므로(수직 상승이 3 미만) 타당한 범위에 든다. 모든 선택지가 약 5.74에서 5.83 사이에 몰려 있어, 오직 정확한 계산 (h² = 23/3)만이 이웃한 값이 아닌 (B)로 확정한다.
💡핵심 정리
구를 그 중심으로 바꾸면, 무서운 3차원 쌓기가 피타고라스 정리로 푸는 평면 직각삼각형 두 개가 된다.
- 네 중심을 잇기
- 밑면 삼각형의 외접반지름
- 위쪽 중심까지의 수직 상승
- 세 높이를 쌓기