AMC 10 · 2004 · #13
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
역함수는 말 그대로 'f가 한 일을 되돌려라'라는 지시이므로, 도구 #11(거꾸로 풀기)로 a를 곱하고 b를 더하는 과정을 거꾸로 풀어 f에서 곧바로 f⁻¹을 계산한다. 그러면 a와 b로 표현된 f⁻¹의 식이 나오고, 문제는 같은 함수에 대한 두 번째 식을 이미 주고 있다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 두 식의 계수를 하나씩 맞추면 함수에 대한 진술이 평범한 두 방정식으로 바뀐다. 마지막에는 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 얻은 함수를 역함수의 정의에 직접 넣어 확인한다.
평평한 경우 배제하기
평평한 함수는 역함수가 없으므로 기울기가 0일 수 없다.
서로 다른 입력이 서로 다른 출력을 낼 때만 함수를 되돌릴 수 있는데, 수평선은 그 조건을 곧바로 어긴다.
11.F-BF.B.4Work Backwardsf를 되돌려 진짜 역함수 구하기
단계를 역순으로 되돌리면 진짜 역함수가 나온다.
여러 단계를 되돌린다는 것은 순서를 뒤집고 각 단계를 뒤집는 것이다. 신발을 벗고 나서 양말을 벗는 것과 같다.
11.F-BF.B.4Work Backwards같은 함수의 두 식 맞추기
기울기와 상수항을 맞추면 그 주장이 두 방정식이 된다.
두 직선이 겹치려면 기울기도 같고 높이도 같아야 하므로, 계수가 하나씩 대응해서 일치해야 한다.
두 일차식이 같은 함수가 되려면 기울기와 높이가 계수마다 하나씩 일치해야 한다.
▸ 왜?
모든 입력에서 같은 두 식은 서로 대응하는 항마다 계수가 같아야 한다.
▸ 왜?
역함수는 각 단계를 거꾸로 순서로 되돌려 만들므로, 그 계수는 원래 계수를 되돌린 데서 나온다.
두 방정식 풀기
실수 쌍은 하나만 살아남고 두 수 모두 마이너스 1이다.
삼차식은 근이 셋까지 있을 수 있으니, 찾은 근이 유일한 실근이라고 말하기 전에 인수분해해서 남은 이차식을 확인해야 한다.
11.A-APR.B.3Convert To Algebra나온 함수 확인하기
두 번 적용하면 입력으로 돌아오므로 합은 -2, 보기 (A).
역함수를 확인하는 가장 안전한 방법은 함수와 역함수를 연달아 적용해서 입력이 그대로 나오는지 보는 것이다.
11.F-BF.B.4Guess And Checkf를 한 단계씩 되돌려 역함수를 직접 만든 다음, 그 식을 문제가 준 식과 같다고 놓고 계수를 맞춰라. 그렇게 나온 두 방정식이 a와 b를 완전히 결정한다.
- 평평한 경우 배제하기
- f를 되돌려 진짜 역함수 구하기
- 같은 함수의 두 식 맞추기
- 두 방정식 풀기
- 나온 함수 확인하기