AMC 10 · 2004 · #14
학년 10 geometry-2d
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오각형에는 넓이 공식이 없지만 이 오각형은 삼각형 하나에서 귀퉁이 삼각형 둘을 잘라낸 모양이므로, 도구 #16(관점 바꾸기)으로 목표를 '쉬운 도형 빼기 쉬운 도형 둘'로 바꾼다. 도구 #1(그림 그리기)은 모든 것을 값싸게 만드는 사실을 준다. 변 5, 12, 13은 C에서 직각을 강제하고, 두 수선은 큰 삼각형과 각을 공유하는 직각삼각형 두 개를 더 만든다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 귀퉁이를 하나씩 처리한다. 삼각형 ABC에 대한 닮음비를 구하고, 넓이를 위해 그 비를 제곱하고, 빼면 된다. 빼기 전에 두 귀퉁이가 정말 삼각형 안의 서로 다른 조각인지도 그림으로 확인해야 한다.
C에서 직각 찾기
변의 길이가 직각을 드러내므로 전체 넓이는 30이다.
5-12-13 삼각형은 직각삼각형이고, 직각은 언제나 가장 긴 변의 맞은편에 있다.
8.G.B.6Draw A Diagram귀퉁이 삼각형 두 개 찾기
잘려 나가는 두 귀퉁이는 전체 삼각형의 닮은 도형이다.
빗변에 내린 수선은 잘라내는 쪽 꼭짓점마다 원래 직각삼각형의 축소판을 하나씩 만들어 낸다.
10.G-SRT.A.2Identify Subproblems귀퉁이가 겹치지 않는지 확인하기
수선의 발을 배치하면 귀퉁이가 겹치지 않음이 보여 빼기가 정당해진다.
두 영역을 빼기 전에 공유하는 변을 따라 걸어가며 조각들이 겹치지 않고 순서대로 놓이는지 확인하라.
10.G-SRT.B.5Draw A Diagram넓이는 닮음비의 제곱으로 줄이기
넓이는 길이 비의 제곱으로 줄어 30의 작은 분수가 된다.
길이를 반으로 줄이면 넓이는 사분의 일이 된다. 넓이는 축소 비율을 가로와 세로에서 한 번씩, 두 번 받기 때문이다.
모든 길이를 반으로 줄이면 넓이는 4분의 1이 되는데, 배율이 차원마다 한 번씩 붙기 때문이다.
▸ 왜?
넓이는 두 방향으로 동시에 늘어나므로, 배율을 자기 자신과 곱한 만큼 달라진다.
▸ 왜?
구석 삼각형은 전체와 각이 같으므로, 모든 변이 전체와 하나의 일정한 비를 이룬다.
두 귀퉁이 빼기
둘을 빼면 240/13이 남는다, 보기 (D).
도형이 다루기 까다로우면, 잴 수 있는 도형들에서 남은 부분이라고 이름 붙이고 빼면 된다.
6.G.A.1Change Focus Count The Complement이 오각형은 5-12-13 삼각형에서 귀퉁이 삼각형 둘을 잘라낸 것이고 각 귀퉁이는 전체 삼각형의 축소판이니, 빗변의 비를 제곱해 그 귀퉁이가 차지하는 넓이를 구한 뒤 빼면 된다.
- C에서 직각 찾기
- 귀퉁이 삼각형 두 개 찾기
- 귀퉁이가 겹치지 않는지 확인하기
- 넓이는 닮음비의 제곱으로 줄이기
- 두 귀퉁이 빼기
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