AMC 10 · 2004 · #16

학년 11 algebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area
complex-numberscircle-equationquadratic-equations convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: complex-numbers
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
어떤 규칙이 복소수를 켤레로 바꾼 뒤 90도 돌린다. 이 규칙이 제자리에 두는 수 가운데 원점에서 거리가 5인 것의 개수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
4
(E)
8
풀이 과정
전략 변수 도입하기

해의 개수를 셀 때 흔히 다항식의 차수를 보지만, z는 z에 대한 다항식이 아니므로 차수는 아무것도 말해 주지 않는다. 이를 넘어서는 길은 z를 한 덩어리로 다루지 않는 것이다. 실수부와 허수부에 이름을 붙이면 복소수 방정식 하나가 실수 방정식 둘로 바뀌어 보통의 대수로 다룰 수 있다. 두 조건을 좌표 a, b로 적고 나면 하나는 직선을, 다른 하나는 원을 나타내므로 개수를 그림으로 한 번, 계산으로 한 번, 두 번 확인할 수 있다.

1STEP 1

z를 두 실수로 쪼개기

두 실수 부분으로 쪼개면 규칙이 역할만 바꾼다는 것이 보인다.

f(a+bi)=i(a-bi)=ai-bi²=b+ai
2STEP 2

실수부와 허수부 맞추기

부분을 맞추면 조건이 하나라서 고정되는 수들이 직선을 이룬다.

b+ai=a+bi⇔ a=b
3STEP 3

고정점을 원 위에 올리기

그 직선이 중심을 지나므로 원을 두 번 자른다.

a²+b²=25 (반지름 5인 원), b=a (중심을 지나는 직선)
4STEP 4

실제 수를 구하기

풀어 보면 양쪽에 하나씩 정확히 두 개임이 확인된다.

2a²=25 → a=±5√(2)/2, z=±5√(2)/2(1+i)
5STEP 5

둘 다 확인하고 세기

둘 다 확인을 통과하고 다른 것은 불가능하므로 개수는 2, 보기 (C).

|5√(2)/2(1+i)|=5√(2)/2·√(2)=5, i·5√(2)/2(1-i)=5√(2)/2(1+i)
정답
2
두 조건의 모양만으로도 개수의 상한이 바로 나온다. 한 조건은 z를 직선에, 다른 조건은 원에 묶고, 직선과 원은 많아야 두 점에서 만나므로 계산 전에 이미 4와 8은 불가능하다. 0도 불가능하다. 이 직선은 원의 중심을 지나므로 반드시 원을 자르기 때문이다. 1이 되려면 접해야 하는데, 중심을 지나는 직선은 접할 수 없다. 남는 것은 2이고, 실제 수 ±5√(2)/2(1+i)가 이를 확인해 준다. 한 가지 미묘한 점을 짚어 둘 만하다. 해가 그 직선 위에 있어야 한다는 것만 보이면 개수가 2 이하라는 상한만 얻는다. 개수가 정확히 2인 이유는 함의가 반대 방향으로도 성립하기 때문이다. 즉 그 직선의 모든 점이 실제로 f의 고정점이다.
💡핵심 정리

복소수를 두 실수 좌표로 쪼개면 낯선 방정식이 보통의 대수가 된다. 여기서는 직선이 나오고, 원의 중심을 지나는 직선은 언제나 원을 정확히 두 번 자른다.

  • z를 두 실수로 쪼개기
  • 실수부와 허수부 맞추기
  • 고정점을 원 위에 올리기
  • 실제 수를 구하기
  • 둘 다 확인하고 세기

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