AMC 10 · 2004 · #18
학년 8 geometry-2dalgebra답을 골라 클릭하세요.
곡선 위의 두 미지의 점은 미지수 네 개처럼 보이지만, 중점 조건이 그것을 절반으로 줄인다. A=(p,q)라면 B는 반드시 (-p,-q)이다. 그러니 A에 이름을 붙이고 남은 하나의 요구, 즉 A와 그 점대칭 상이 모두 곡선 위에 있다는 조건을 적는다. 그러면 p, q에 대한 방정식 둘이 나오는데, 하나씩 푸는 대신 두 식을 더하고 빼는 편이 낫다. 더하면 홀수차 항이, 빼면 짝수차 항이 사라져서 각 조합이 미지수 하나씩을 떼어 낸다.
중점 조건으로 B를 A에 묶기
중점 조건이 둘째 점을 첫째 점의 반 바퀴로 만든다.
중점이 원점이라는 것은 두 점이 서로 반대라는 뜻이므로, 한 점이 다른 점을 결정한다.
8.G.A.3Introduce A Variable두 점이 곡선 위에 있다는 조건 적기
둘 다 곡선 위라는 조건이 미지수 둘에 두 방정식을 준다.
곡선 위에 있다는 것은 좌표가 만족해야 할 방정식일 뿐이므로, 두 점은 두 방정식을 준다.
6.EE.A.2Convert To Algebra두 식을 더해 p 구하기
더하면 홀수 부분이 사라져 첫 좌표가 플러스마이너스 이분의 일로 정해진다.
두 조건을 더하면 부호가 뒤집히는 것은 모두 사라지고 그렇지 않은 것만 남는다.
두 조건을 더하면 부호가 뒤집히는 것이 모두 지워지고, 빼면 바로 그 부분만 남는다.
▸ 왜?
참인 두 등식의 양변에 같은 연산을 해도 결과는 참으로 남는다.
▸ 왜?
두 점은 서로 정반대이므로, 항들이 일치하거나 지워질 뿐 그 밖의 것은 남지 않는다.
두 식을 빼서 q 구하기
빼면 다른 좌표가 나오고 두 부호는 같은 선분을 가리킨다.
두 조건을 빼면 부호가 뒤집히는 부분만 남아 높이를 바로 알려 준다.
8.EE.C.7Organize Information In More Ways선분의 길이 재기
두 변 1과 7이 빗변 5√2를 준다, 보기 (E).
두 점 사이의 거리는 가로 차와 세로 차가 만드는 직각삼각형의 빗변이다.
8.G.B.8Draw A Diagram원점이 중점이면 두 번째 점은 첫 번째 점의 부호만 모두 뒤집은 것이다. 그러니 두 조건을 나란히 적고 더해 보면, 살아남는 항들이 점의 위치를 알려 준다.
- 중점 조건으로 B를 A에 묶기
- 두 점이 곡선 위에 있다는 조건 적기
- 두 식을 더해 p 구하기
- 두 식을 빼서 q 구하기
- 선분의 길이 재기