AMC 10 · 2004 · #19
학년 10 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
여기서 핵심은 도구 #17(공간 상상하기)입니다. 축을 포함하는 수직 평면으로 입체를 자릅니다. 구의 중심이 그 축 위에 있으므로 잘린 단면에서 구는 반지름이 그대로 r 인 큰 원이 되고, 입체는 등변사다리꼴이 됩니다. 접하는 성질은 자른 뒤에도 그대로 남으므로, 3차원 문제가 '사다리꼴에 내접하는 원'이라는 평면 문제로 바뀝니다. 그다음 도구 #1(그림 그리기)로 그 사다리꼴에 실제 수치를 적어 넣습니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 빠져 있는 높이 h 에 이름을 붙이고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 두 조각으로 나눕니다: 접선의 길이로 빗변을 구하고, 직각삼각형으로 h 를 구합니다.
축을 따라 입체 자르기
축을 따라 자르면 입체가 내접원을 가진 사다리꼴이 된다.
축을 따라 한 번 자르면 접하는 성질은 모두 살아남고, 어려운 입체 그림이 원이 끼워진 평면 사다리꼴로 바뀝니다.
10.G-MG.A.1Visualize Spatial Relationships두 밑면에 접하면 2r=h
두 평행한 변에 접하므로 높이는 정확히 반지름 두 개다.
평행한 두 바닥 사이에 꼭 낀 공은 그 간격만큼의 높이를 갖습니다.
10.G-CO.A.1Introduce A Variable접선의 길이로 빗변 구하기
접선의 길이가 같아 기울어진 변은 20이다.
한 꼭짓점에서 그은 두 접선은 원까지 같은 거리로 닿으므로, 기울어진 변은 두 밑면 반지름을 더한 것과 같습니다.
한 꼭짓점에서 그은 두 접선은 원까지 같은 거리로 닿으므로, 빗변은 두 밑면 반지름을 더한 것이다.
▸ 왜?
접선은 접점에서 반지름과 직각으로 만나므로, 각 접선이 직각삼각형의 한 변이 된다.
▸ 왜?
그 두 직각삼각형은 빗변과 반지름을 공유하므로, 남은 변이 같을 수밖에 없다.
기울어진 변에 피타고라스 정리 쓰기
직각삼각형에서 높이는 12가 된다.
기울어진 변은 수평 변이 두 반지름의 차인 직각삼각형의 빗변입니다.
8.G.B.7Draw A Diagram그림이 앞뒤가 맞는지 확인하기
마주 보는 변의 합이 일치하므로 그림이 앞뒤가 맞는다.
원이 네 변에 모두 닿으려면 마주 보는 두 쌍의 변의 합이 같아야 하는데, 여기서는 실제로 같습니다.
6.EE.B.6Identify Subproblems높이를 반으로 나누기
높이를 반으로 나누면 반지름은 6, 보기 (A).
높이가 반지름 두 개분이므로 반으로 나누면 반지름이 나옵니다.
6.EE.B.6Identify Subproblems입체를 축을 따라 곧게 자르면 공은 사다리꼴 안에 끼인 원이 되고, 같은 길이의 접선 조각들이 기울어진 변을 18+2=20으로 만들며, 피타고라스 정리가 그것을 높이 12로 바꾸어 주므로 공의 반지름은 그 절반인 6입니다.
- 축을 따라 입체 자르기
- 두 밑면에 접하면 2r=h
- 접선의 길이로 빗변 구하기
- 기울어진 변에 피타고라스 정리 쓰기
- 그림이 앞뒤가 맞는지 확인하기
- 높이를 반으로 나누기