AMC 10 · 2004 · #21
학년 11 algebrageometry-2d답을 골라 클릭하세요.
도구 #16(관점 바꾸기)이 문제를 다룰 수 있게 만듭니다. 극단이 되는 두 점을 찾아 헤매는 대신, 어떤 기울기 m 이 실제로 나타나는지를 묻습니다. y/x가 바로 원점에서 그 점을 지나는 직선의 기울기이기 때문입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 기울기에 m 이라는 이름을 붙이고 y=mx 를 대입하면, '직선 y=mx 가 타원과 만나는가?'가 'x 에 대한 이차방정식이 실근을 갖는가?'로 바뀝니다. 그다음 도구 #14(극단의 원리)로 경계를 읽습니다. 나타날 수 있는 기울기들은 닫힌 구간을 이루고, 그 양 끝은 정확히 판별식이 0이 되는 곳이므로 a 와 b 는 m 에 대한 한 이차방정식의 두 근이고, 근을 구하지 않아도 비에트 관계로 합을 얻습니다. 마지막 단계에서 도구 #16이 다시 쓰입니다. 문제가 묻는 것은 합뿐이고, 합은 각각의 근보다 훨씬 싸게 얻을 수 있습니다.
y/x를 기울기로 읽기
그 비는 원점을 지나는 기울기이고 타원은 세로축과 만나지 않는다.
좌표의 비는 기울기이므로, 문제 전체가 원점을 지나는 어떤 직선이 타원에 닿을 수 있는지를 묻는 것입니다.
8.F.A.3Change Focus Count The Complementy=mx 대입하기
그 직선을 대입하면 모든 기울기에 대해 제대로 된 이차방정식이 된다.
직선을 타원에 대입하면 도형 문제가 '이 이차방정식이 실근을 갖는가?'라는 문제로 바뀝니다.
11.A-REI.C.7Introduce A Variable판별식이 음수가 아닐 때만 기울기 m 이 나타남
기울기가 나타나는 것은 판별식이 음수가 아닐 때뿐이다.
판별식은 직선이 타원에 닿을 수 있는지를 결정하는 스위치입니다.
9.A-REI.B.4Extreme Principle나타나는 기울기는 닫힌 구간을 이룸
그래서 가능한 기울기는 두 근을 끝으로 하는 닫힌 구간을 이룬다.
아래로 열린 포물선은 두 근 사이에서만 음이 아니므로, 그 두 근이 가장 작은 기울기와 가장 큰 기울기입니다.
9.F-IF.B.4Extreme Principle비에트 관계로 두 근 더하기
비에트가 각 근을 구하지 않고 합을 주어 7/2, 보기 (C).
이차식의 계수는 이미 두 근의 합을 알고 있으므로, 합만 물으면 복잡한 제곱근을 건너뛸 수 있습니다.
두 극단의 기울기는 하나의 이차식의 두 근이므로, 그 합은 계수에서 곧바로 읽힌다.
▸ 왜?
이차식의 계수는 이미 두 근의 합을 담고 있으므로, 제곱근을 계산할 일이 없다.
▸ 왜?
아래로 열린 포물선은 두 근 사이에서만 0 위에 있으므로, 그 두 근이 허용되는 가장 작은 기울기와 가장 큰 기울기다.
y/x는 원점을 지나는 직선의 기울기이므로 y=mx 를 대입하고 그 이차방정식이 언제까지 해를 갖는지 물으세요. 판별식 -80m²+280m-199은 두 근 사이에서만 음이 아니고, 그 두 근의 합이 280/80=7/2입니다.
- y/x를 기울기로 읽기
- y=mx 대입하기
- 판별식이 음수가 아닐 때만 기울기 m 이 나타남
- 나타나는 기울기는 닫힌 구간을 이룸
- 비에트 관계로 두 근 더하기