AMC 10 · 2004 · #24

학년 11 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

trigonometric-ratiostangent-addition-formulasequences-geometricsequences-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: trigonometric-ratios

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

이등변삼각형의 꼭짓점에서 수선을 내리고, 밑변을 한쪽 너머로 연장해 꼭짓점에서 거리가 10인 점을 잡는다. 탄젠트 세 값이 등비수열을, 코탄젠트 세 값이 등차수열을 이룬다. 삼각형의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\frac {50}3$

(C)

$10\sqrt{3}$

(D)

$8\sqrt{5}$

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

문제에 나오는 모든 각은 꼭짓점이 B이고 한 변이 직선 ADCE 위에 놓이며, BD는 그 직선에 수직이다. 따라서 그 각들의 탄젠트는 모두 (직선 위의 길이) 나누기 BD이다. 수선의 길이, 밑변의 절반, 수선의 발에서 E까지의 거리, 이 세 길이에 이름을 붙이면 두 수열 조건이 각도 없이 그 세 길이에 대한 대수 문제로 바뀐다. 두 조건이 두 비를 결정하고, BE = 10이 크기를 결정한다.

1STEP 1

그림과 수선의 발 D 정하기

수선이 중선이기도 해서 꼭짓점 각을 고르게 나눈다.

AD = DC, ∠ ABD = ∠ DBC, BD ⊥ AE

2STEP 2

세 길이에 이름 붙이기

높이와 두 가로 조각에 이름을 붙이면 모든 탄젠트가 바로 나온다.

h = BD, p = DA = DC, q = DE, tan ∠ DBC = p/h, tan ∠ DBE = q/h

3STEP 3

바깥 두 각의 탄젠트 나타내기

합과 차 공식이 바깥 두 탄젠트를 깔끔한 분수로 써 준다.

tan ∠ CBE = (q/h - p/h)/(1 + pq/h²) = (h(q-p))/(h² + pq), tan ∠ ABE = (p/h + q/h)/(1 - pq/h²) = (h(q+p))/(h² - pq)

4STEP 4

등비수열 조건 쓰기

등비 조건이 먼 조각을 높이와 같게 만든다.

q²/h² = (h(q-p))/(h²+pq) · (h(q+p))/(h²-pq) = (h²(q²-p²))/(h⁴ - p²q²) ⟹ q²h⁴ - p²q⁴ = q²h⁴ - p²h⁴ ⟹ q = h

5STEP 5

등차수열 조건 쓰기

등차 조건이 높이를 밑변 절반의 세 배로 만든다.

2·(h+p)/(h-p) = 1 + h/p = (p+h)/p ⟹ 2/(h-p) = 1/p ⟹ 2p = h - p ⟹ h = 3p

6STEP 6

BE = 10 넣기

주어진 길이 10이 직각삼각형을 통해 크기를 정한다.

BE² = h² + q² = 2h² = 100 ⟹ h = 5√(2), p = 5√(2)/3

7STEP 7

넓이 구하기

밑변 곱하기 높이를 반으로 하면 50/3, 보기 (B).

[ABC] = 1/2 · AC · BD = 1/2(2p)h = ph = 5√(2)/3 · 5√(2) = 50/3

정답

50/3

답으로부터 그림을 다시 만들어 두 조건을 수치로 확인해 보자. h = 5√(2), p = 5√(2)/3, q = 5√(2)일 때 tan ∠ DBC = p/h = 1/3, tan ∠ DBE = 1, tan ∠ CBE = (h(q-p))/(h²+pq) = 1/2, tan ∠ ABE = (h(q+p))/(h²-pq) = 2이다. 즉 첫 번째 수열은 1/2, 1, 2로 공비 2인 등비수열이고, 코탄젠트는 1, 2, 3으로 공차 1인 등차수열이다. 두 조건이 정확히 성립하고 BE = √(50+50) = 10도 맞는다. 또한 이 도형은 유일하다. 등비 조건이 q = h를, 등차 조건이 h = 3p를 각각 다른 해 없이 강제했으므로 경쟁할 다른 삼각형이 없다. 크기로 보면 AC = 10√2/3 ≈ 4.71, BD = 5√2 ≈ 7.07이어서 넓이는 약 16.67이고, 꼭지각이 좁은 길쭉한 삼각형이다. 이는 cot ∠ DBC = 3과 맞는다. 그 16.67이 선택지 (A) 16 바로 위에 있으므로, 어림값이 아니라 정확한 분수가 둘을 가른다. 한 가지 주의할 점은 인쇄된 그림에서 E가 실제보다 C에 훨씬 가깝게 그려져 있다는 것이다. 그림은 점들의 순서를 보여줄 뿐 거리를 보여주지 않는다.

💡핵심 정리

문제의 모든 각이 한 꼭짓점과 하나의 수선을 공유하면, 각을 그 수선의 밑변 위 길이로 바꿔라. 그러면 삼각법이 평범한 대수가 된다.

그림과 수선의 발 D 정하기
세 길이에 이름 붙이기
바깥 두 각의 탄젠트 나타내기
등비수열 조건 쓰기
등차수열 조건 쓰기
BE = 10 넣기
넓이 구하기