AMC 10 · 2004 · #4

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccomplementary-countingdigit-counting complementary-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

10부터 99 까지의 정수 중 하나를 무작위로 고르며, 모두 뽑힐 가능성이 같다. 두 자리 중 적어도 하나가 7 일 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1}{9}$

(B)

$\dfrac{1}{5}$

(C)

$\dfrac{19}{90}$

(D)

$\dfrac{2}{9}$

(E)

$\dfrac{1}{3}$

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

"적어도 하나"라는 표현은 도구 #16(관점 바꾸기, 여사건 세기)의 대표 신호입니다. 원하는 사건은 서로 겹치는 세 경우로 갈라지지만, 그 반대인 "어느 자리도 7이 아니다"는 겹침을 신경 쓸 필요가 없는 한 가지 경우입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 여사건을 쉽게 세도록 자리별로 헤아려 주고, 도구 #12(벤 다이어그램 그리기)는 같은 집합을 겹치는 두 무리에서 공통 원소를 뺀 것으로 다시 세어, 두 방법을 서로 대조할 수 있게 해 줍니다.

1STEP 1

가능한 경우 전체 세기

고를 수 있는 수는 90개이고 모두 가능성이 같다.

99-10+1=90 가지, 모두 같은 가능성

2STEP 2

"어디에도 7이 없다"로 뒤집기

여사건으로 뒤집으면 겹치는 세 경우가 깔끔한 조건 하나가 된다.

#(적어도 하나가 7)=90-#(7이 하나도 없음)

3STEP 3

7이 없는 수 세기

십의 자리 여덟 가지 곱하기 일의 자리 아홉 가지로 7 없는 수가 72개다.

8 × 9=72 개의 수에는 7 인 자리가 없음

4STEP 4

빼고 약분하기

빼면 18이 남고 약분하면 1/5이다.

90-72=18, 18/90=(18 · 1)/(18 · 5)=1/5

5STEP 5

다른 방식으로 다시 세어 확인

두 번 센 77을 빼는 직접 세기도 1/5을 확인해 준다, 보기 (B).

10+9-1=18, 18/90=1/5 (B)

정답

1/5

결과 1/5=0.2는 확률이 그래야 하듯 0과 1 사이에 있습니다. 어림셈도 들어맞습니다: 한 자리가 7 일 가능성이 대략 열에 하나이고 자리가 둘이니 0.2 근처가 나와야 합니다. 오답 선택지들이 특정 실수와 정확히 맞아떨어진다는 점도 정답을 제대로 읽었다는 좋은 신호입니다. 1/9=10/90은 70–79 묶음만 세고 일의 자리 7을 잊은 값이고, 19/90은 10+9 에서 두 번 센 77을 끝내 빼지 않은 값이며, 2/9=20/90은 10+10으로 더해 일의 자리 7을 과다하게 세고(07은 범위 밖이라 10 개가 아니라 9 개입니다) 겹침까지 무시한 값입니다.

💡핵심 정리

"적어도 하나"라는 말이 나오면 하나도 없는 경우를 세어 빼세요 — 깔끔한 한 번의 세기가 겹치는 세 번의 세기보다 낫습니다.

가능한 경우 전체 세기
"어디에도 7이 없다"로 뒤집기
7이 없는 수 세기
빼고 약분하기
다른 방식으로 다시 세어 확인

가능한 경우 전체 세기

"어디에도 7이 없다"로 뒤집기

7이 없는 수 세기

빼고 약분하기

다른 방식으로 다시 세어 확인

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