AMC 10 · 2022 · #12

학년 7 probabilitycounting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccomplementary-countingfundamental-counting-principlecaseworkindependent-events complementary-countingcaseworkeasier-related-problemsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basicfundamental-counting-principle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

공정한 육면체 주사위 네 개를 한 번에 굴립니다. 같은 네 수에 두 가지 요구가 걸립니다. 적어도 하나는 4보다 커야 하고, 적어도 둘은 2보다 커야 합니다. 한 번의 굴림에서 두 요구가 모두 성립할 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{3}$

(B)

$\frac{19}{27}$

(C)

$\frac{59}{81}$

(D)

$\frac{61}{81}$

(E)

$\frac{7}{9}$

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

"적어도"가 한 문제에 두 번 나오는 것은 도구 #16(관점 바꾸기)의 신호입니다. 만족하는 경우를 세면 여러 갈래로 갈라지지만 실패하는 경우는 몇 개 되지 않으므로, 실패를 세서 빼는 쪽이 지름길입니다. 다만 이 문제에서 도구 #16에는 날카로운 모서리가 있고, 시작하기 전에 그것부터 이름 붙여 두는 편이 낫습니다. 조건 1을 어기는 집합과 조건 2를 어기는 집합은 서로소가 아니므로, 두 크기를 더하는 방식으로는 여집합을 셀 수 없습니다. 실패를 동시에 일어날 수 없는 조각으로 다시 잘라야 하고, 그 자르는 선을 고르는 것이 진짜 할 일입니다. 그 전에 도구 #15(다르게 정리하기)가 문제를 작게 만드는 수를 둡니다. 두 조건 중 어느 것도 주사위가 실제로 몇을 보이는지 묻지 않고 오직 기준값 4와 2의 어느 쪽에 있는지만 묻기 때문에, 여섯 눈은 세 덩어리로 접힙니다. 그리고 계산이 운 좋게도, 각 덩어리에 눈이 정확히 두 개씩 들어가 확률이 모두 1/3이 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 그 이득을 현금화합니다. 세 덩어리가 같은 확률이므로 1296가지 결과를 81가지 같은 확률의 패턴으로 바꿔도 정확성이 조금도 손상되지 않고, 문제는 손으로 검산할 만한 크기의 세기 문제가 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 첫 번째 실패 무리를 직접 셉니다. 도구 #3(가능성 지우기)이 두 번째 실패 무리를 마무리하는데, 여기서는 주사위 하나가 높다는 사실이 나머지 주사위가 낮은 것 말고는 아무것도 될 수 없게 만듭니다.

1STEP 1

주사위를 구간으로 묶기

주사위마다 세 구간만 구별하면 됩니다.

L={1,2}, M={3,4}, H={5,6}; P(L)=P(M)=P(H)=2/6=1/3

2STEP 2

패턴 개수 세기

같은 확률의 패턴이 여든하나입니다.

3⁴=81 개의 같은 확률 단어, 각각 확률 (1/3)⁴=1/81; 81 × 2⁴ = 81 × 16 = 1296 = 6⁴

3STEP 3

실패를 겹치지 않게 자르기

실패를 겹치지 않게 두 무리로 나눕니다.

좋은 단어 = 81 - #{H 없음} - #{H 는 있으나 L이 아닌 글자가 둘 미만}

4STEP 4

첫째 무리 세기

높은 눈이 하나도 없는 경우를 셉니다.

#{H 없음} = 2⁴ = 16 ⟹ 16/81 = (2/3)⁴

5STEP 5

둘째 무리 세기

높은 눈이 혼자 서 있는 경우를 셉니다.

H 가 적어도 하나 ⟹ L이 아닌 글자가 적어도 하나; L이 아닌 글자가 둘 미만 ⟹ H 하나와 L 셋; #{무리 2} = C(4, 1) = 4 ⟹ 4/81

6STEP 6

빼서 확률 읽기

빼면 81분의 61입니다.

P = (81-16-4)/81 = 61/81; 976/1296 = (61 × 16)/(81 × 16) = 61/81 (D)

정답

61/81

표본공간이 작으므로 전수조사로 못을 박을 수 있습니다. 6⁴=1296가지 순서 있는 굴림을 모두 훑어 4보다 큰 주사위가 적어도 하나이고 2보다 큰 주사위가 적어도 둘인 것만 남기면 정확히 976가지가 되고, 976/1296=61/81이므로 (D)가 확인됩니다. 두 개의 상한도 답을 가둡니다. 구하는 사건은 조건 1을 함의하는데 조건 1의 확률은 1-(2/3)⁴=65/81이고, 조건 2도 함의하는데 그 확률은 72/81입니다. 61/81 ≈ 0.753은 마땅히 그래야 하듯 둘 다보다 작습니다. 다만 어림셈으로는 선택지를 고를 수 없습니다. 분모를 81로 맞추면 (A) 54/81, (B) 57/81, (C) 59/81, (D) 61/81, (E) 63/81이라 폭 9/81 안에 모두 몰려 있습니다. 정확히 세는 수밖에 없습니다. 이중 계산의 덫은 값을 매겨 볼 만합니다. 조건 1을 어기는 단어는 16개, 조건 2를 어기는 단어는 9개입니다(LLLL 하나에, L이 아닌 글자가 정확히 하나인 4자리 × 2글자 =8개). 이를 더하면 25가 되고 (81-25)/81=56/81이 나오는데, 선택지에 없다는 사실이 무언가를 두 번 셌다는 신호입니다. 겹치는 부분은 두 조건을 모두 어기는 5개, 즉 LLLL과 M이 정확히 하나인 4개입니다. 포함배제로 고치면 16+9-5=20이 되어, 서로소로 자른 16+4=20과 일치합니다.

💡핵심 정리

여섯 눈을 확률이 같은 세 무리로 나눈 다음, 되는 경우 대신 안 되는 경우를 셉니다. 단 안 되는 경우를 자를 때는 한 굴림이 두 무리에 동시에 들어가지 않도록 잘라야 합니다.

주사위마다 구간만 중요하다
같은 확률의 패턴 여든한 개
실패를 세되 겹치지 않게 자르기
무리 1: 높은 주사위가 하나도 없음
무리 2: 높은 주사위가 혼자 서 있다
빼고 확률 읽기