AMC 10 · 2004 · #6
학년 8 arithmetic pythagorean-theoremestimation physical-representation ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
한 공항이 세인트폴 도심에서 남서쪽으로 8킬로미터, 미니애폴리스 도심에서 남동쪽으로 10킬로미터 떨어져 있다. 두 도심 사이의 직선 거리에 가장 가까운 정수 킬로미터 값을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
13
(B)
14
(C)
15
(D)
16
(E)
17
풀이 과정
전략 그림 그리기
이 문제는 사실 방향에 관한 문제이므로, 첫 단계는 공항을 그림 위에 놓고 두 도심으로 향하는 두 선분을 그리는 것이다(도구 #1). 방위 표현을 주의 깊게 읽으면(도구 #17) 세인트폴로 가는 선분은 북동쪽, 미니애폴리스로 가는 선분은 북서쪽을 가리키고, 이 두 방향은 서로 수직이다. 그러면 그림은 두 변이 8과 10이고 빗변이 우리가 구하려는 거리인 직각삼각형이 되어 피타고라스 정리로 마무리된다. 실제 거리가 정수가 아니므로, 마지막에 도구 #3(가능성 지우기)으로 가장 가까운 선택지를 고른다.
1STEP 1
공항에서 나가는 두 길 그리기
두 방향은 공항에서 90도 벌어져 있다.
45° + 45° = 90°
북동쪽과 북서쪽은 북에서 서로 반대쪽으로 같은 크기만큼 기울어져 있어서, 둘이 합쳐 직각을 이룬다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
피타고라스 정리 적용하기
그래서 도심 사이 거리는 빗변이고 √(164)이다.
d = √(8² + 10²) = √(64 + 100) = √(164)
직각삼각형에서 빗변의 제곱은 두 변의 제곱의 합과 같으므로, 두 변을 제곱해 더하면 남은 변이 나온다.
북동과 북서는 북쪽에서 서로 반대편으로 같은 만큼 기울어 있으므로, 둘이 합쳐 직각을 이룬다.
▸ 왜?
나란한 두 각은 둘이 걸친 각으로 더해지므로, 북쪽 양옆의 같은 반각이 합쳐 90도가 된다.
각의 크기는 더해진다각 안에 그은 반직선은 각을 두 개로 나누고, 그 두 각의 크기를 더하면 원래 각이 된다 — 길이와 똑같다.
▸ 왜?
직각삼각형에서 긴 변 위의 정사각형은 두 변 위의 정사각형을 더한 것과 같다.
피타고라스 정리직각삼각형에서 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다(a²+b²=c²).
3STEP 3
제곱근 어림하고 선택지 고르기
164가 169 바로 아래이므로 가장 가까운 정수는 13, 보기 (A).
12² = 144 ＜ 164 ＜ 169 = 13², 12.8² = 163.84 → √(164)≈ 12.8 → (A) 13
제곱근 양옆의 정수를 제곱해 보면 제곱근이 어느 쪽에 더 가까운지 알 수 있다.
8.NS.A.2Eliminate Possibilities정답
13
직각삼각형의 빗변은 어느 한 변보다는 길고 두 변의 합보다는 짧아야 하므로, 이 거리는 10과 8+10=18마일 사이에 있어야 한다. 어림값 √(164)≈ 12.8은 이 범위 안에 있고, 긴 변인 10보다 조금 더 큰데, 이는 두 변이 8과 10인 직각삼각형이 마땅히 가져야 할 값이다. 가장 가까운 선택지로 반올림하면 13, 즉 (A)이다.
💡핵심 정리
두 나침반 방향이 직각으로 만나면 가로지르는 직선 거리는 빗변이다. 두 변을 제곱해 더한 뒤 제곱근을 구하면 된다.
- 공항에서 나가는 두 길 그리기
- 피타고라스 정리 적용하기
- 제곱근 어림하고 선택지 고르기