AMC 10 · 2004 · #9

학년 8 geometry-2d
유형 Paper Fold-and-Cut Symmetry └ 세부 유형 Composition of Reflections of a Pictured Figure
rotation-isometryreflection-symmetrytransformations-composition physical-representationspatial-visualization ↑ 선수 지식: coordinate-geometry
📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
점 마이너스 3, 2 를 원점 중심으로 시계 방향 90도 회전해 B 에 이른다. 그다음 B 를 두 좌표가 같은 직선에 대해 대칭이동해 C 에 이른다. C 의 좌표를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
(-3,-2)
(B)
(-2,-3)
(C)
(2,-3)
(D)
(2,3)
(E)
(3,2)
풀이 과정
전략 그림 그리기

두 번의 이동 뒤 점이 어디에 놓이는지를 묻는 문제로, 도구 #1(그림 그리기)의 전형적인 상황입니다. 점을 찍어 놓고, 어렴풋이 외운 공식이 아니라 그림에서 각 이동을 읽어 냅니다. 도구 #17(공간 상상하기)은 회전 방향을 잘못 잡는 실수를 잡아내는 확인 장치 — 원점까지의 거리 보존, 원점에서의 직각, 알맞은 사분면 — 를 제공합니다. 이어 도구 #15(다르게 정리하기)로 두 이동을 좌표 규칙으로 바꿔 하나로 이어 붙이면, B 를 전혀 쓰지 않는 독립적인 계산이 됩니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)이 모든 선택지가 길이 검사를 통과함을 보여, 방향과 순서만이 답을 가른다는 점을 분명히 합니다.

1STEP 1

시계 방향 규칙 확정하기

동쪽과 북쪽으로 시험하면 외우지 않고도 시계 방향 규칙을 확정한다.

(1,0)↦(0,-1), (0,1)↦(1,0) ⟹ (x,y)↦(y,-x)
2STEP 2

점을 돌리고 확인하기

적용하면 B 가 제1사분면에 놓이고 길이와 각으로 확인된다.

B=(2, -(-3))=(2,3); √((-3)²+2²)=√(2²+3²)=√(13); (-3)(2)+(2)(3)=0
3STEP 3

대각선에 대해 대칭이동하기

대각선 대칭이동은 두 좌표를 그냥 맞바꾼다.

중점=((a+b)/2,(a+b)/2)∈{x=y}, (b-a, a-b)·(1,1)=0 ⟹ (a,b)↦(b,a); (2,3)↦(3,2)
4STEP 4

두 규칙을 하나로 잇기

두 규칙을 합성하면 세로축 대칭일 뿐이라 3, 2가 된다.

(x,y) → (y,-x) → (-x,y); (-3,2)↦(3,2)
5STEP 5

함정 지우기

함정 보기들은 방향이나 순서에서 어긋나므로 C 는 3, 2, 보기 (E).

|(-3,-2)|=|(-2,-3)|=|(2,-3)|=|(2,3)|=|(3,2)|=√(13) ⟹ 방향이 결정; C=(3,2) (E)
정답
(3,2)
두 경로가 일치합니다. B=(2,3)을 거쳐 가는 길과 합성 규칙 (x,y)↦(-x,y)를 쓰는 길이 모두 (3,2)에 도달하고, (3,2)는 두 이동이 반드시 보존해야 하는 거리 √(13)에 있습니다. 구조적인 확인도 뒷받침합니다: 회전은 방향(향)을 보존하고 대칭이동은 뒤집으므로, 하나씩 한 번 하면 전체적으로 향이 뒤집혀야 합니다 — 합성 결과인 y 축 대칭 (x,y)↦(-x,y)가 정확히 그렇습니다. 또한 C=(3,2)는 출발점 (-3,2)를 y 축에 그대로 비춘 상으로, 합성 규칙을 말로 옮긴 것과 같습니다. 다섯 선택지가 모두 거리 √(13)을 공유하므로 길이만 확인해서는 아무것도 얻지 못합니다. 이 문제는 회전의 방향과 두 이동의 순서만이 정답을 가르도록 설계되어 있습니다.
💡핵심 정리

각 이동을 (x,y)가 어떻게 변하는지에 대한 규칙으로 적고 그 규칙들을 이어 붙이세요 — 이어 붙인 규칙이 답도 주고 검산도 해 줍니다.

  • 시계 방향 규칙 확정하기
  • 점을 돌리고 확인하기
  • 대각선에 대해 대칭이동하기
  • 두 규칙을 하나로 잇기
  • 함정 지우기

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