AMC 10 · 2005 · #16

학년 9 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

tangent-circlescoordinate-geometrypythagorean-theorem easier-related-problemconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometrypythagorean-theoremquadratic-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

같은 크기의 작은 원 셋이 모서리에 있는데, 하나는 두 축에 접하고 나머지 둘은 각각 그것과 한 축에 접한다. 더 큰 원이 두 축과 바깥 두 작은 원에 접한다. 그 반지름이 몇 배인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

묻는 것은 비뿐이고 문제의 모든 조건은 접함에 관한 것인데, 접함은 닮음변환에서 그대로 유지된다. 그러니 그림을 줄여 s=1로 만들면 미지수는 r 하나만 남는다. 그다음은 좌표가 전부 해결한다. 제1사분면에서 두 축에 접하는 원의 중심은 (ρ,ρ)이고, 두 원의 외접은 거리에 관한 식 하나가 된다. 이렇게 하면 전체 배치가 r에 대한 이차방정식 하나로 바뀐다.

1STEP 1

s = 1이 되도록 크기 줄이기

확대·축소는 자유이므로 작은 반지름을 1로 둔다.

1/s배 하면: s↦ 1, r↦ r/s; 비 r/s는 그대로

2STEP 2

두 축에 접하는 원

두 축에 접하면 중심이 대각선 위에 온다.

반지름 ρ인 원이 두 축에 접함 → 중심=(ρ,ρ); O₁=(1,1), O=(r,r)

3STEP 3

두 번째와 세 번째 원의 위치

외접과 한 축이 바깥 두 중심을 정한다.

O₂=(3,1), O₃=(1,3)

4STEP 4

접함 조건을 식으로

중심 거리가 반지름의 합이라 방정식 하나가 나온다.

(r-3)²+(r-1)²=(r+1)²

5STEP 5

이차방정식 풀기

인수분해되고 퇴화한 근은 제외된다.

2r²-8r+10=r²+2r+1 → r²-10r+9=0 → (r-1)(r-9)=0

6STEP 6

확인하고 비 읽기

모든 조건을 확인하면 비는 9, 보기 (D).

√((9-3)²+(9-1)²)=√(36+64)=10=9+1 ✓, r/s=9

정답

s=1일 때 큰 원은 (3,1)에 나와 있는 두 번째 원을 넘어가야 하므로 중심이 x=3보다 한참 오른쪽에 있어야 한다. 보기 5나 6 정도의 반지름으로는 너무 빠듯하고, r=9이면 중심이 (9,9)에 놓이며 6-8-10 삼각형이 정확히 맞아떨어진다. 큰 원이 접하는 것은 두 번째와 세 번째 원뿐이고 첫 번째 원과는 접하지 않는다는 점도 확인할 만하다. (9,9)에서 (1,1)까지의 거리는 8√(2)≈ 11.31로 10이 아니며, 문제도 첫 번째 원과의 접함을 요구하지 않으므로 서로 맞는다. 문제의 그림 역시 반지름 9인 원과 (1,1), (3,1), (1,3)의 단위원으로 그려져 있어 결과와 일치한다.

💡핵심 정리

두 축에 접하는 원의 중심은 (반지름, 반지름)이고 바깥에서 맞닿는 두 원은 반지름의 합만큼 떨어져 있으니, 거리 식 하나면 그림 전체가 정해진다.

s = 1이 되도록 크기 줄이기
두 축에 접하는 원
두 번째와 세 번째 원의 위치
접함 조건을 식으로
이차방정식 풀기
확인하고 비 읽기