AMC 10 · 2005 · #2
학년 7 arithmetic linear-equations-one-varsystems-of-equations identify-subproblemswork-backwards ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
두 방정식이 같은 해를 가진다고 한다. 그렇게 되게 하는 미지의 계수 값을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
-8
(B)
-4
(C)
-2
(D)
4
(E)
8
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
"같은 해"라는 표현이 문제를 두 개의 깔끔한 작은 문제로 나누므로, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)이 앞장선다. 먼저 미지수가 하나뿐인 첫 번째 방정식을 풀어 x 를 구하고, 그 값을 두 번째 방정식에 넣는다. 도구 #11 (거꾸로 풀기)은 두 번째 단계를 맡는다. 두 번째 방정식은 결과 -2를 주고, 거기서부터 거꾸로 계수 b 를 알아낸다. 도구 #3 (가능성 지우기)은 부호 함정을 지킨다. 음의 부호를 놓치면 답이 (D) 4가 되고, x 를 그대로 베끼면 (C) -2가 된다.
1STEP 1
첫 번째 방정식으로 x 구하기
첫 방정식은 미지수가 하나뿐이라 -2가 나온다.
2x+7=3 → 2x=-4 → x=-2
미지수가 하나뿐인 방정식은 그 미지수를 한 수로 못 박는다 — +7과 ×2를 되돌리면 드러난다.
7.EE.B.4Identify Subproblems2STEP 2
"같은 해"로 두 방정식 잇기
같은 해라는 것은 그 값이 둘째 방정식도 만족한다는 뜻이다.
b(-2)-10=-2 → -2b-10=-2
"같은 해"는 다리다: 한쪽에서 구한 수는 다른 쪽에도 맞아떨어져야 한다.
두 방정식이 같은 해를 가진다는 말은, 한쪽에서 찾은 수가 다른 쪽도 만족시켜야 한다는 뜻이다.
▸ 왜?
미지수가 어떤 수와 같다면, 미지수에 대해 참인 것은 그 수에 대해서도 참이다.
같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.
▸ 왜?
양변에서 같은 연산을 되돌려도 등식은 참으로 남으면서 미지수만 드러난다.
양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
3STEP 3
b 구하기
부호에 주의해 풀면 -4, 보기 (B).
-2b-10=-2 → -2b=8 → b=-4 → (B)
양수를 음수로 나누면 부호가 바뀌므로 계수는 0 아래로 내려간다.
7.NS.A.2Work Backwards정답
-4
두 수를 다시 넣어 확인한다: x=-2, b=-4 일 때 두 번째 방정식은 (-4)(-2)-10=8-10=-2가 되어 요구된 -2와 정확히 일치한다. 첫 번째 방정식도 맞는다: 2(-2)+7=-4+7=3. 둘 다 성립하므로 b=-4가 옳다. 함정 답들도 아깝게 빗나간 값으로 말이 된다: (D) 4는 -2로 나눌 때 부호를 놓친 결과이고, (C) -2는 x 값을 그대로 베낀 것이다.
💡핵심 정리
두 방정식이 해를 공유하면, 미지수가 하나뿐인 방정식을 먼저 풀고 그 수를 다른 방정식에 넣어 남은 것을 알아내라.
- 첫 번째 방정식으로 x 구하기
- "같은 해"로 두 방정식 잇기
- b 구하기