AMC 10 · 2005 · #25

학년 12 geometry-3dcounting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

spatial-visualizationequilateral-triangledot-productlaw-of-cosines systematic-enumerationcaseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: spatial-visualizationequilateral-trianglecoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

삼 곱하기 삼 곱하기 삼의 격자점 덩어리에 점 27개가 있다. 세 꼭짓점이 모두 그 안에 있는 정삼각형의 개수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 공간 상상하기

27개 점에서 세 점을 고르는 방법이 2925가지이므로 하나씩 확인하는 것은 불가능하다. 대신 변의 길이로 분류한다. 한 꼭짓점에서 나오는 두 변을 벡터로 쓰면 '정삼각형'이라는 조건이 내적에 대한 식 하나로 바뀌고, 그 식만으로도 가능한 몇 안 되는 길이 대부분이 곧바로 지워진다. 살아남는 길이는 셋뿐이며, 각각이 눈대중이 아니라 정확히 셀 수 있는 작은 세기 문제가 된다.

1STEP 1

격자 그려 보기

덩어리는 정리할 만큼 작지만 하나씩 확인하기엔 너무 크다.

2STEP 2

삼각형을 두 벡터로 바꾸기

한 꼭짓점에서 나가는 두 벡터가 삼각형 전체를 서술한다.

u = B - A, v = C - A, C - B = v - u

3STEP 3

변의 길이가 따라야 할 규칙 찾기

변이 같다는 조건이 제곱 길이를 짝수로 만드는 관계를 준다.

|v-u|² = |u|² + |v|² - 2(u · v) ⟹ u · v = 1/2|u|²

4STEP 4

가능한 제곱 길이 나열하기

그 조건을 통과하는 제곱 길이는 다섯뿐이다.

|u|² ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12} → {2, 4, 6, 8, 12}

5STEP 5

두 길이 더 지우기

관계를 직접 확인하면 둘이 더 빠져 셋이 남는다.

|u|² = 4 → u · v ∈ {0, ± 4} ≠ 2, |u|² = 12 → u · v ∈ {± 4, ± 12} ≠ 6

6STEP 6

중복 없이 세는 틀 만들기

세는 틀은 각 삼각형에 여섯 번 도달한다.

#삼각형 = (#{(A, u, v)})/(3 · 2)

7STEP 7

주어진 화살표 쌍이 들어갈 자리 세기

정육면체 대칭 덕분에 대표 하나가 각 집단의 자리를 정한다.

#{A} = Π_i=1³(3 - (max(0, u_i, v_i) - min(0, u_i, v_i)))

8STEP 8

집단별로 세기

세 집단이 64, 8, 8을 준다.

(12 · 4 · 8)/6 = 64, (24 · 2 · 1)/6 = 8, (12 · 4 · 1)/6 = 8

9STEP 9

세 집단 더하기

더하면 80, 보기 (C).

64 + 8 + 8 = 80

정답

각 집단마다 크기를 독립적으로 확인해 주는 그림이 있다. 변이 √(2)인 64개는 S 안에 들어 있는 단위 정육면체 8개의 모서리 삼각형이다. 단위 정육면체 하나는 정사면체 두 개로 갈라지고 각 정사면체의 면이 4개이므로 8 × 8 = 64이며, 그런 삼각형을 담는 가장 작은 상자가 곧 그 단위 정육면체이므로 두 정육면체에서 같은 삼각형을 겹쳐 세는 일도 없다. 변이 √(8) = 2√(2)인 8개는 같은 구성을 큰 2 × 2 × 2 정육면체 하나에 적용한 것이다. 변이 √(6)인 8개는 큰 정육면체의 모서리 중점 세 개를 잇는 삼각형인데, 각각이 공간대각선 하나와 수직이고 4개의 공간대각선마다 정확히 2개씩 붙어 있어 4 × 2 = 8이다. 두 경로 모두 64 + 8 + 8 = 80을 준다. 오답 72는 √(6) 집단을 끝내 알아채지 못했을 때 나오는 값이며, 그래서 3단계의 짝수 논증이 중요하다. 가능한 변의 길이가 정확히 셋뿐임을 미리 증명해 두어야 탐색을 어디서 멈출지 알 수 있기 때문이다.

💡핵심 정리

도형을 찾아 나서기 전에 애초에 가능한 변의 길이부터 따져라. 끝없는 탐색이 짧은 목록 세 개로 줄어든다.

격자 그려 보기
삼각형을 두 벡터로 바꾸기
변의 길이가 따라야 할 규칙 찾기
가능한 제곱 길이 나열하기
두 길이 더 지우기
중복 없이 세는 틀 만들기
주어진 화살표 쌍이 들어갈 자리 세기
집단별로 세기
세 집단 더하기