AMC 10 · 2005 · #7

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremangle-sum-trianglearea-rectanglescongruent-triangles spatial-visualizationidentify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremcomplementary-anglesarea-rectangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

기울어진 정사각형이 큰 정사각형 안에 놓여, 각 변을 연장하면 큰 정사각형의 꼭짓점을 하나씩 지난다. 바깥 변은 √(50)이고 한 꼭짓점에서 잘린 작은 조각의 길이는 1이다. 안쪽 정사각형의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 그림 그리기

어려운 부분은 계산이 아니라 그림을 제대로 보는 것이다. 네 변을 네 꼭짓점까지 연장해 그리면 ABCD의 각 모서리마다 직각삼각형이 하나씩 나타나고, 그 빗변은 큰 정사각형의 한 변 전체이다. 이 삼각형 하나가 문제의 모든 수를 담고 있다. 길이 1인 변, 미지수로 만들어진 변, 그리고 √(50)인 빗변이다. 따라서 계획은 안쪽 변을 문자로 놓고, 네 모서리 삼각형이 합동임을 보여 짧은 변이 모두 1임을 확인한 뒤, 피타고라스 정리로 마무리하는 것이다.

1STEP 1

변에 이름 붙이고 직선 따라가기

안쪽 변에 이름을 붙이면 꼭짓점마다 모서리 조각 넷이 남는다.

EF = FG = GH = HE = x, [EFGH] = x²

2STEP 2

E에서 직각 찾기

안쪽의 이웃한 변이 수직이라 각 모서리에 직각삼각형이 생긴다.

∠ BEC = ∠ CFD = 90°, BC = CD = √(50)

3STEP 3

꼭짓점 C에서 각 추적하기

각을 추적하면 두 예각이 같아진다.

∠ BCE + ∠ FCD = 90° = ∠ EBC + ∠ BCE ⟹ ∠ EBC = ∠ FCD

4STEP 4

모서리 삼각형을 맞춰 CF = 1 얻기

그래서 모서리 삼각형들이 합동이고 주어진 조각이 되풀이된다.

△ BEC ≅ △ CFD ⟹ CF = BE = 1 ⟹ CE = x + 1

5STEP 5

피타고라스 정리 적용하기

피타고라스 정리로 안쪽 변은 6이 된다.

1² + (x+1)² = (√(50))² = 50 ⟹ (x+1)² = 49 ⟹ x + 1 = 7 ⟹ x = 6

6STEP 6

변을 제곱해 넓이 구하기

제곱하면 넓이는 36, 보기 (C).

[EFGH] = x² = 6² = 36

정답

안쪽 정사각형은 바깥 정사각형 안에 들어가야 하는데 36 ＜ 50이므로 크기가 그럴듯하다. 더 날카로운 확인은 넓이 장부를 맞춰 보는 것이다. 네 모서리 삼각형은 두 변이 1과 7인 합동인 직각삼각형이고 각각의 넓이는 (1 · 7)/2 = 3.5이며, 이들이 두 정사각형 사이 영역을 정확히 채운다. 그러면 36 + 4(3.5) = 36 + 14 = 50으로 바깥 넓이와 정확히 일치하므로, 어디에서도 중복이나 누락이 없었음이 독립적으로 확인된다. 선택지 (A)는 이 검사를 통과하지 못한다. 안쪽 변이 5라면 두 변이 1과 6이 되어 빗변이 √(50)이 아니라 √(37)이 되기 때문이다.

💡핵심 정리

기울어진 정사각형이 다른 정사각형 안에 들어 있으면 모서리 삼각형을 보라. 그중 하나가 문제의 모든 수를 담고 있다.

변에 이름 붙이고 직선 따라가기
E에서 직각 찾기
꼭짓점 C에서 각 추적하기
모서리 삼각형을 맞춰 CF = 1 얻기
피타고라스 정리 적용하기
변을 제곱해 넓이 구하기