AMC 10 · 2005 · #14

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

tangent-line-to-circleisosceles-right-trianglecoordinate-geometry spatial-visualizationconvert-to-algebrasystems-of-equations ↑ 선수 지식: coordinate-geometryisosceles-right-trianglepythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세로축 위에 중심이 있는 원이 원점을 지나는 기울어진 두 직선과 수평선 하나에 접하고 어느 것도 가로지르지 않는다. 반지름을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$6\sqrt{2}-6$

(B)

(C)

$6\sqrt{2}$

(D)

(E)

$6+6\sqrt{2}$

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림을 그리면 문장이 흐릿하게 남겨둔 배치가 확정된다. 원은 직선 y=6 위에 놓이고, y=x와 y=-x가 만드는 90° 각 안에 끼어 있다. 그림이 잡히면 나머지는 한 가지 사실이 해결한다. 접한다는 것은 중심에서 직선까지의 거리가 정확히 반지름이라는 뜻이다. 높이를 k라 놓고 그 거리를 세 번 쓰면 도형 문제가 일차방정식 하나로 바뀐다.

1STEP 1

그림을 확정한다

접한다는 것은 중심에서의 모든 거리가 반지름과 같다는 뜻이다.

C=(0,k), k ＞ 6, 반지름=r

2STEP 2

수평선에서 식 하나

수평선은 반지름을 단순한 차로 준다.

r = k - 6

3STEP 3

기울어진 직선에서 식 둘

45도 삼각형이 기울어진 거리를 주고 두 기울기가 일치한다.

r = k/√(2) = k√(2)/2

4STEP 4

두 식이 같은 k를 가리킨다

두 식을 같게 놓으면 중심이 정해진다.

k-6=k√(2)/2 ⟹ k·(2-√(2))/2=6 ⟹ k=12/(2-√(2))=(12(2+√(2)))/2=12+6√(2)

5STEP 5

다시 반지름으로

빼면 6+6√(2), 보기 (E).

r=k-6=(12+6√(2))-6=6+6√(2)≈ 14.49

정답

6+6√(2)

대수를 믿지 말고 답을 직접 검사하자. k=12+6√(2)≈ 20.485, r=6+6√(2)≈ 14.485일 때 y=6까지의 거리는 20.485-6=14.485=r이고, y=x까지의 거리는 20.485/√(2)≈ 14.485=r이다. 둘 다 맞으므로 세 직선 모두 실제로 접한다. 크기 감각으로도 작은 선택지들은 걸러진다. 원은 높이 6에서 중심 위쪽까지 뻗어야 하므로 r=k-6이고 k는 6보다 꽤 커야 한다. 6√(2)-6≈ 2.49나 6이라면 중심 높이가 각각 8.49, 12가 되는데, 그때 y=x까지의 거리는 6.0과 8.49로 반지름과 같지 않다.

💡핵심 정리

접한다는 말은 거리 조건이다. 접선마다 중심까지의 거리를 적고 모두 반지름과 같다고 놓으면 그림이 방정식이 된다.

그림을 확정한다
수평선에서 식 하나
기울어진 직선에서 식 둘
두 식이 같은 k를 가리킨다
다시 반지름으로

그림을 확정한다

수평선에서 식 하나

기울어진 직선에서 식 둘

두 식이 같은 k를 가리킨다

다시 반지름으로

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